MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 219

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$.

a) $a_{n+1}-a_n=-\frac13<0$.

b)

c) Mamy $a_n=1+\frac1{2n^2}$, a składnik $\frac1{2n^2}$ maleje.

d)

W podpunktach a i b różnice kolejnych wyrazów są stałe: odpowiednio $1$ i $-2$. W c otrzymujemy ciąg $1,0,1,0,\ldots$, więc raz rośnie, a raz maleje. W d wszystkie wyrazy są dodatnie i $a_{n+1}-a_n=a_n>0$.

Wystarczy wykazać, że każda różnica kolejnych wyrazów jest dodatnia, niezależnie od wartości $a_n$.

a) $a_{n+1}-a_n=a_n^2+3>0.$

b)

Oba wnioski obowiązują także dla dowolnego wyrazu początkowego $a_1=t$.

Korzystamy z $a_1=S_1$ oraz $a_n=S_n-S_{n-1}$ dla $n\ge2$.

a) $a_1=6$, a dla $n\ge2$ $a_n=3n^2+3n-[3(n-1)^2+3(n-1)]=6n.$ Zatem wzór $a_n=6n$ działa dla każdego $n$ i różnica wynosi $6$.

b) $a_1=8$, $a_2=7$, a $a_3=19$. Już różnice $a_2-a_1=-1$ i $a_3-a_2=12$ nie są równe.

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $2b=a+c$, a dla geometrycznego $b^2=ac$. Zatem

Stąd $a=c$, a z $2b=a+c$ także $b=a=c$.

a) Trzy wyrazy arytmetyczne o sumie $6$ zapisujemy jako $2-r,2,2+r$. Po zwiększeniu ostatniego wyrazu o $1$ warunek geometryczności daje $4=(2-r)(3+r),$ czyli $r^2+r-2=0$. Stąd $r=1$ lub $r=-2$.

b) Oznaczmy wyrazy geometryczne przez $x,y,z$. Warunek arytmetyczności $x,y,z-1$ ma postać $2y=x+z-1$. Wraz z $x+y+z=7$ daje to $y=2$. Ponieważ $y^2=xz$ oraz $z=5-x$, mamy $x(5-x)=4$, więc $x=1$ lub $x=4$.

Niech $b_1=x$, $b_2=y$, $b_3=z$. Z sumy i warunku arytmetyczności po zmianie ostatniego wyrazu otrzymujemy $x+y+z=6,\qquad 2y=x+z-18.$ Po odjęciu równań dostajemy $3y=-12$, czyli $y=-4$, a następnie $x+z=10$. Warunek geometryczności daje $xz=y^2=16$. Liczby $x,z$ są więc pierwiastkami równania $u^2-10u+16=0$, czyli są równe $2$ i $8$ w dowolnej kolejności.

a) Dla parzystej liczby wyrazów iloraz sumy wszystkich wyrazów przez sumę wyrazów parzystych wynosi

Stąd $q=\frac13$ i $a_5=9\left(\frac13\right)^4=\frac19$.

b) Grupujemy dziewięć wyrazów w trzy bloki po trzy:

Po oznaczeniu $u=q^3$ dostajemy $(u+\frac12)^2=0$, zatem $q^3=-\frac12$. Wobec tego $a_7=12q^6=12\left(-\frac12\right)^2=3$.