MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 218

Obliczamy stały iloraz $b_{n+1}/b_n$. Wynosi on kolejno $1/2$, $5$ i $8$. Wszystkie pierwsze wyrazy są dodatnie, więc iloraz z przedziału $(0,1)$ daje ciąg malejący, a iloraz większy od $1$ — rosnący.

Stosujemy $a_n=a_1q^{n-1}$. W c iloraz wynosi $q=a_3/a_2=-1/5$.

a) Cofamy się od $a_6$ przez dzielenie przez $q$.

b) $q^5=a_7/a_2=32$, więc $q=2$.

c) Z $a_3a_4=3$ i $a_4=1$ mamy $a_3=3$, stąd $q=1/3$.

d) Jeśli $a_3\ne0$, to z $a_3=-8a_6=-8a_3q^3$ wynika $q=-1/2$; następnie $a_1+a_3=10$ daje $a_3=2$. Gdy $a_3=0$, warunki spełnia również ciąg z $q=0$, $a_1=10$.

a), b) Stosujemy wzór na pięć wyrazów szeregu geometrycznego.

c) Z $a_2+a_3=q+q^2=20$ mamy $q=4$ lub $q=-5$.

d) Z $S_3=-4(1+q+q^2)=-12$ otrzymujemy $q=1$ lub $q=-2$.

Dla ciągu arytmetycznego rozwiązujemy $b-a=c-b$, a dla geometrycznego $b^2=ac$, uwzględniając także ciąg zerowy.

a) Warunki dają odpowiednio $x=1$ oraz $x(x-10)=0$.

b) Warunki dają odpowiednio $x(x-12)=0$ oraz $3x^2(2x+3)=0$.

a) Z pierwszej rekurencji otrzymujemy $a_2=-1$, $a_3=-4$, $a_4=32$, $a_5=512$. Drugi ciąg ma wyrazy $0,1,0,1,0,1,0$, więc $b_7=0$.

b) Pierwszy ciąg daje $a_2=2$, $a_3=6$, $a_4=15$, $a_5=31$. W drugim używamy $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$, więc $b_7=1+1-1/7=13/7$.

Obliczamy $a_1$ oraz różnicę lub iloraz między wzorami dla $a_{n+1}$ i $a_n$.

a) $a_{n+1}-a_n=2(n-1)$. b) $a_{n+1}-a_n=-1/[n(n+1)]$. c) $a_{n+1}=a_n/2$. d) $a_{n+1}-a_n=\log(1+1/n)$.

Przy $m$ kapitalizacjach rocznie przez dwa lata kapitał wynosi $2000(1+0{,}06/m)^{2m}$. Podstawiamy kolejno $m=2,4,12$ i zaokrąglamy do groszy.

W obu wariantach kapitał jest mnożony przez te same czynniki, tylko w odwrotnej kolejności: $800(1+0{,}06/12)^6(1+0{,}03/12)^6.$ Mnożenie jest przemienne, więc kolejność stóp nie zmienia wyniku.