MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 217

Podstawiamy odpowiednie indeksy do obu wzorów.

a) $a_{10}=-\frac12$, $b_8=-\frac72$.

b) $a_{10}=\frac{21}{2}$, $b_8=\frac12$.

Po podstawieniu indeksów otrzymujemy $2,8,20,240$. Iloczyn $n(n+1)(n+2)$ zawiera trzy kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest podzielna przez $3$. Iloraz przez $3$ jest zatem zawsze liczbą naturalną.

a) Wzór jest liniowy, a różnica wynosi $-\frac12$.

b) $b_n=1+3/n$ jest malejący, lecz $b_{n+1}-b_n=-3/[n(n+1)]$ nie jest stałe.

c) Rozkład licznika daje $(9-4n^2)/(2n+3)=3-2n$, więc różnica wynosi $-2$.

Z zależności $a_j-a_i=(j-i)r$ wyznaczamy różnicę, a potem $a_1$ i wzór $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $a_1$ i $a_2$ są pierwiastkami równania $t^2-7t+10=0$, więc mogą wystąpić w dwóch kolejnościach.

b) Z $a_4-a_2=2r=4$ mamy $r=2$. Równanie $a_2(a_2+4)=32$ daje $a_2=4$ lub $a_2=-8$.

c) Warunek $a_2+a_4=8$ daje $a_1+2r=4$. Po podstawieniu do $a_1a_2=6$ otrzymujemy $a_1=2$ lub $a_1=-6$.

a) $a_5-a_2=3r=-30$, więc $r=-10$ i $a_8=a_2+6r=-70$.

b) W ciągu arytmetycznym $a_7+a_9=2a_8$, więc $a_8=5$.

c) $a_9-a_6=3r=6$, zatem $r=2$ i $a_8=1+7r=15$.

Wyznaczamy brakujące $a_1$, $r$ lub wyraz skrajny, a potem stosujemy $S_{12}=6(a_1+a_{12})$. W e równanie $S_4=52$ daje $r=-2$. W f z $a_3=-4$ i $S_{10}=-15$ otrzymujemy $r=1$, $a_1=-6$.

a) $S_{100}=50(a_1+a_{100})$.

b) Z $a_{100}-a_{10}=90r=-10$ mamy $r=-1/9$ i $a_1=0$.

c) $a_{99}+a_{101}=2a_{100}=150$.

d) $r=a_3-a_2=2b+1$, a $a_4-a_2=2r=2$, więc $b=0$, $r=1$ i $a_1=-1$.

W każdym podpunkcie zapisujemy ostatni wyraz jako $x=a_1+(n-1)r$ i przyrównujemy $S_n=\frac n2(a_1+x)$ do podanej sumy. Wybieramy dodatnią całkowitą liczbę wyrazów.

Od sumy wszystkich liczb z zakresu odejmujemy sumę wielokrotności $5$.

a) $10+\cdots+99=4905$, a wielokrotności $5$ od $10$ do $95$ mają sumę $945$.

b) $100+\cdots+999=494550$, a wielokrotności $5$ od $100$ do $995$ mają sumę $98550$.