MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216

W każdym podpunkcie sprawdzamy bazę, zakładamy podzielność dla $n=k$ i analizujemy przyrost wyrażenia przy przejściu do $k+1$.

a) Baza $n=1$: $0$. Przyrost to $3k(k+1)$, podzielny przez $6$.

b) Baza: $3$. Przyrost to $3(k^2+k+1)$.

c) Baza: $12$. Przyrost to $3(k^2+k+4)$; nawias jest parzysty.

d) Baza: $0$. Przyrost wynosi $5k(k+1)(k^2+k+1)$. Iloczyn po $5$ jest podzielny przez $2$, a przez $3$ dlatego, że albo $k$ lub $k+1$ dzieli się przez $3$, albo $k\equiv1\pmod3$ i wtedy $k^2+k+1\equiv0\pmod3$.

e) Dla $n=2$ mamy $96$. Przyrost $9\cdot10^k$ jest dla $k\ge2$ podzielny przez $12$.

f) Baza: $18$. Przyrost $3(4^k+5)$ jest podzielny przez $9$, bo $4^k+5\equiv0\pmod3$.

g) Baza: $9$. Przyrost $3(2\cdot7^k+1)$ jest podzielny przez $9$.

h) Baza: $12$. Przyrost $3(3\cdot10^k+4^k)$ jest podzielny przez $6$, bo nawias jest parzysty.

Dla $n=3$ suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ=(3-2)\cdot180^\circ$.

Załóżmy, że wzór zachodzi dla wypukłego $n$-kąta. Poprowadzenie przekątnej od nowego wierzchołka rozcina wypukły $(n+1)$-kąt na $n$-kąt i trójkąt. Suma kątów zwiększa się więc o $180^\circ$:

$$(n-2)180^\circ+180^\circ=(n-1)180^\circ,$$

czyli ma żądaną postać dla $n+1$.

a) Dla trójkąta liczba przekątnych wynosi $0$. Załóżmy $D_n=\frac{n(n-3)}2$. Po dodaniu wierzchołka przybywa $n-2$ przekątnych wychodzących z niego oraz jedna przekątna powstała ze starego boku, razem $n-1$. Zatem $D_{n+1}=\frac{n(n-3)}2+n-1=\frac{(n+1)(n-2)}2.$

b) Jedna prosta daje $2\le2^1$ obszary. Załóżmy, że $n$ prostych daje co najwyżej $2^n$ obszarów. Nowa prosta może rozciąć każdy istniejący obszar najwyżej na dwie części, więc liczba obszarów najwyżej się podwaja: $R_{n+1}\le2R_n\le2^{n+1}$.

Najpierw wypisujemy kilka wyrazów, a potem sprawdzamy wzór indukcyjnie.

a) Hipoteza $a_n=2n-1$. Dla $n=1$ działa, a $a_{n+1}=2n-1+2=2(n+1)-1$.

b) Hipoteza $a_n=2^{-n}$. Mnożenie przez $1/2$ daje $a_{n+1}=2^{-(n+1)}$.

c) Hipoteza $a_n=n^2$. Z rekurencji $a_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2$.

d) Hipoteza $a_n=1/n$. Mamy $a_{n+1}=\frac1n-\frac1{n(n+1)}=\frac1{n+1}$.