MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 213

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej paraboli.

a) $a_n=25-(n-5)^2\leq25$.

b) $a_n=1250-2(n-25)^2\leq1250$.

c) $a_n=9-(n-7)^2\leq9$. Każda liczba nie mniejsza od wskazanego maksimum także ogranicza ciąg z góry.

Definicja wymaga jednego wspólnego ograniczenia dla wszystkich wyrazów, a nie osobnego ograniczenia zależnego od indeksu.

a) Pierwsze wyrazy to $-8,-2,8,22,40$. Ciąg rośnie od $a_1=-8$ i dąży do $\infty$.

b) Otrzymujemy $-\frac72,-\frac{31}{8},-\frac{71}{18},-\frac{127}{32},-\frac{199}{50}$. Każdy wyraz jest większy od $-4$, a największy jest pierwszy.

c) Ponieważ $\cos(n\pi)=(-1)^n$, wyrazy to $-1,2,-3,4,-5$. Podciąg parzysty dąży do $\infty$, a nieparzysty do $-\infty$.

Korzystamy z $-1\leq\sin t,\cos t\leq1$ oraz $n\geq1$.

a) $-5\leq5\sin n\leq5$ i $0<10/n\leq10$, więc $-5\leq a_n\leq15$.

b) $0<6/2^n\leq3$ i $-2\leq2\cos n^2\leq2$, więc $-2\leq a_n\leq5$.

c) Wszystkie składniki są dodatnie, a maleją z $n$; wystarcza $5<a_n\leq1505$.