MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 212

Stosujemy warunek $|q|<1$.

a) $q=2x-3$, więc $|2x-3|<1$.

b) $q=1/(x+1)$, więc $|x+1|>1$.

a) Pierwszym wyrazem i ilorazem jest $x+1$. Warunek $|x+1|<1$ oraz równanie $\frac{x+1}{1-(x+1)}=8x^2-1$ dają $8x^3=-1$.

b) Pierwszym wyrazem i ilorazem jest $1/(1-x)$. Przy warunku $|1-x|>1$ suma wynosi $-1/x$. Równanie $-1/x=x^2+x+1$ daje $(x+1)(x^2+1)=0$.

Sumujemy każdy szereg i jednocześnie zapisujemy warunek $|q|<1$.

a) $q=x$, więc $f(x)=x/(1-x)$ dla $|x|<1$.

b) $q=-x$, więc $f(x)=-x/(1+x)$ dla $|x|<1$.

c) $q=1/x$, więc $f(x)=x/(x-1)$ dla $|x|>1$.

d) $q=-3/x$, więc $f(x)=-x/(x+3)$ dla $|x|>3$. Wykresy są odpowiednimi fragmentami hiperbol, ograniczonymi do tych dziedzin.

W obu podpunktach oznaczamy ułamek w drugim składniku przez $r$. Szereg $-1+r-r^2+\cdots$ ma iloraz $-r$, więc jest zbieżny dla $|r|<1$, a jego suma wynosi $-1/(1+r)$.

a) $|(x-1)/(x-2)|<1$ daje $x<3/2$.

b) $|(x-4)/(x-3)|<1$ daje $x>7/2$. Po uproszczeniu otrzymujemy fragmenty dwóch hiperbol.

a) Długość półokręgu o promieniu $r$ wynosi $\pi r$. Suma promieni to $2+1+\frac12+\cdots=4$, więc długość spirali wynosi $4\pi$.

b) Skan pokazuje, że kolejne średnice biegną na osi $OX$ naprzemiennie w prawo i w lewo. Współrzędna graniczna wynosi $4-2+1-\frac12+\cdots=\frac4{1+\frac12}=\frac83.$ Wysokości przecięć dążą do zera, zatem punktem granicznym jest punkt na osi $OX$.

Długość spirali $S_2$ jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $0{,}9$. Zatem $S=\frac1{1-0{,}9}=10.$