MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 211

Wyznaczamy iloraz $q$ i sprawdzamy warunek $|q|<1$. Dla szeregu zbieżnego stosujemy $S=a_1/(1-q)$.

a) $q=\frac9{10}$. b) $q=\frac15$. c) $q=-2$. d) $q=1/\sqrt3$. e) $q=\pi/2$. f) $q=-\frac25$.

a) $q=\sqrt2+1>1$, więc szereg jest rozbieżny.

b) $0<\sqrt2-1<1$, zatem szereg jest zbieżny. Liczymy $S=\frac{\sqrt2+1}{1-(\sqrt2-1)}$ i usuwamy niewymierność z mianownika.

W każdym podpunkcie korzystamy z równania $S=\frac{a_1}{1-q}$ i rozwiązujemy je względem brakującej wielkości. Otrzymane ilorazy spełniają $|q|<1$.

Oddzielamy część całkowitą i nieokresową, a blok okresowy sumujemy jako szereg o ilorazie $10^{-k}$, gdzie $k$ jest długością bloku. Ujemne liczby traktujemy jako przeciwieństwa dodatnich rozwinięć.

Pełna suma wynosi $64$, a suma pierwszych trzech wyrazów $56$, więc ogon od czwartego wyrazu ma sumę $8$. Jest on szeregiem otrzymanym z całego przez pomnożenie przez $q^3$, zatem $64q^3=8$. Stąd $q=\frac12$ oraz $a_1=64(1-q)=32$.

Iloczyn trzech pierwszych wyrazów to $a_1^3q^3=(a_1q)^3=-1$, więc $a_1q=-1$. Z $q=-1/a_1$ i $a_1/(1-q)=4/3$ otrzymujemy $3a_1^2-4a_1-4=0$. Kandydat $a_1=-2/3$ daje $q=3/2$ i szereg rozbieżny. Drugi kandydat spełnia warunek zbieżności.

Dla sumy całego szeregu $S$ suma wyrazów parzystych wynosi $S\frac{q}{1+q}$, a suma wyrazów nieparzystych $S\frac1{1+q}$.

a) $9\frac{q}{1+q}=\frac94$, więc $q=\frac13$ i $a_1=9(1-q)=6$.

b) $6\frac1{1+q}=12$, więc $q=-\frac12$ i $a_1=6(1-q)=9$.

Suma kwadratów wyrazów jest równa $Q=\frac{a_1^2}{1-q^2}$.

a) Dla $q=-\frac12$ mamy $S=\frac{2a_1}{3}$ i $Q=\frac{4a_1^2}{3}$. Warunek $S=Q/2$ oraz $a_1\ne0$ daje $a_1=1$.

b) Z $S=20$ mamy $a_1=20(1-q)$. Ponadto $Q=S\frac{a_1}{1+q}=240$, więc $a_1=12(1+q)$. Porównanie równań daje $q=\frac14$, $a_1=15$.