MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 210

Szereg geometryczny jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy $|q|<1$. Ilorazy wynoszą kolejno $2x$, $-x$, $\frac1{3x}$ oraz $\frac1{1+x^2}$. Rozwiązujemy cztery nierówności, pamiętając o dziedzinie.

a) Pierwszy wyraz to $x$, a iloraz $-x$, więc wymagamy $|x|<1$ i zapisujemy $\frac{x}{1+x}=2x-1$. Po uproszczeniu $2x^2=1$; oba rozwiązania spełniają warunek zbieżności.

b) Pierwszy wyraz to $1$, iloraz $x/2$, więc $|x|<2$ oraz $x\ne0$. Równanie $\frac1{1-x/2}=1+1/x$ daje $(x-1)(x+2)=0$. Wartość $-2$ leży na granicy zbieżności, więc odpada.