MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 203

Zastępujemy sumy ich wzorami:

a) $1+\cdots+2n=n(2n+1)$. b) $1+\cdots+n=n(n+1)/2$. c) Iloraz to $S_{n+1}/S_n=(n+2)/n$. d) Suma $n+1$ początkowych liczb nieparzystych wynosi $(n+1)^2$. e) $2+4+\cdots+(2n+2)=(n+1)(n+2)$. f) Każda para $(2k-1)-2k$ ma sumę $-1$, więc licznik wynosi $-n$.

Rozdzielamy pierwiastek iloczynu: $\sqrt[n]{3n}=\sqrt[n]3\sqrt[n]n$ oraz $\sqrt[n]{5n^2}=\sqrt[n]5(\sqrt[n]n)^2$. Każdy czynnik dąży do $1$.

a), b) Spod pierwiastka wyłączamy potęgę największej podstawy.

c), d) Pierwiastek stopnia $n$ z wyrażenia rosnącego liniowo ma granicę $1$; stałe i składnik $(-1)^n$ nie zmieniają wyniku.

e), f) Liczniki są ograniczone, a mianowniki rosną bez ograniczenia, więc z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy zero.

Wyłączamy $1/n^2$:

Mamy