MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 199

Badamy znak i moduł wyrazów.

a) Liniowy ciąg ujemny dąży do $-\infty$. b), d) Znaki zmieniają się, a moduły rosną — brak granicy. c) $3^n\to+\infty$. e) $0{,}1^n\to0$. f) $0{,}(9)=1$, więc ciąg jest stale równy $1$. g) $-n^3\to-\infty$. h) $n^2-100\to+\infty$.

Warunek $-\sqrt n<-A$ jest równoważny $n>A^2$. Ponieważ nierówność jest ostra, gdy $A^2$ jest całkowite, zaczynamy od następnej liczby naturalnej.

a), b) Z $n^2/2>M$ otrzymujemy $n>\sqrt{2M}$.

c), d) Z $(n+1)/10>M$ otrzymujemy $n>10M-1$. Uwzględniamy ostrość nierówności.

a) Zarówno podciąg nieparzysty $-2^n$, jak i parzysty $-n^2$ dążą do $-\infty$. Dla każdego ujemnego progu oba podciągi są od pewnego miejsca niżej, więc cały ciąg dąży do $-\infty$.

b) Wyrazy nieparzyste dążą do $0$, a parzyste do $+\infty$. Różne zachowanie podciągów wyklucza granicę, także niewłaściwą.

a) Nierówność $\sqrt[6]n>A$ daje $n>A^6$. Stąd dla $A=10$ mamy $n\ge10^6+1$, a dla $A=100$ — $n\ge10^{12}+1$.

b) Dla dodatnich $n$ wielomian jest rosnący. Przy $n=5$ ma wartość $1000$, a przy $n=6$ wartość $1506$, zatem ostra nierówność zaczyna się od $n=6$.

Ciąg ma wzór $a_n=-100+2(n-1)=2n-102.$ Niech $M$ będzie dowolną liczbą. Wybieramy liczbę naturalną $k$ taką, że $k>(M+102)/2$. Jeśli $n>k$, to $a_n=2n-102>2k-102>M$. Spełniona jest więc definicja rozbieżności do $+\infty$.