MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 197

Badamy zachowanie wzorów i ich podciągów.

a) $1+4/n\to1$. b) $4-1/n\to4$.

c) Wartości $1,0,-1,0$ powtarzają się, więc granicy nie ma.

d) Podciągi parzysty i nieparzysty dążą odpowiednio do $1$ i $-1$.

e) $(-1/2)^n\to0$.

f) Moduły wyrazów rosną bez ograniczenia, a znaki się zmieniają.

Nierówność $4/n<\varepsilon$ jest równoważna $n>4/\varepsilon$. Uwzględniamy jej ostrość przy progach całkowitych.

a) $|a_n-1|=1/n<1/50$, więc $n>50$.

b) $|a_n-2|=1/n^2<1/10000$, więc $n^2>10000$ i $n>100$.

a) Podciąg wyrazów nieparzystych dąży do $0$, a podciąg wyrazów parzystych do $1$. Różne granice podciągów wykluczają granicę całego ciągu.

b) Dla nieparzystych $n$ mamy $1+1/n\to1$, a dla parzystych $\sqrt[n]{2}\to1$. Oba podciągi wyczerpują ciąg i mają tę samą granicę.