MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 187

a) Liczby zapisujemy jako $5-d,5,5+d$. Po zmianie mamy $6-d,6,9+d$, a warunek geometryczności daje $36=(6-d)(9+d)$. Stąd $d=3$ lub $d=-6$.

b) Niech liczby arytmetyczne będą $a-d,a,a+d$. Suma liczb po zmianie to $3a+8=26$, więc $a=6$. Warunek $a^2=(a-d+8)(a+d)$ daje $d=12$ lub $d=-4$.

a) Dla $x,xq,xq^2$ otrzymujemy $x(1+q+q^2)=13$ oraz $x(2q-1-q^2)=-4$. Stąd $3q^2-10q+3=0$. Malejący dodatni ciąg wymaga $q=1/3$.

b) Analogiczne równania z sumą $52$ i zmianą o $16$ dają te same możliwości $q=3$ lub $q=1/3$. Rosnący ciąg arytmetyczny po zmianie otrzymujemy tylko dla $q=3$.

a) Dla liczb $5,x,y,30$ mamy $x^2=5y$ i $x+30=2y$. Po podstawieniu dostajemy $2x^2-5x-150=0$, więc $x=10$ lub $x=-15/2$.

b) Dla $-4,x,y,32$ arytmetyczność daje $y=2x+4$, a geometryczność $y^2=32x$. Stąd $(x-2)^2=0$.

Niech liczby będą $a,b,c,d$. Korzystamy z $b^2=ac$, $b+d=2c$, $a+d=1$ i $b+c=3/4$. Po wyrażeniu $a,b,d$ przez $c$ otrzymujemy $64c^2-52c+9=0,$ więc $c=9/16$ lub $c=1/4$.

a) Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ promień okręgu wpisanego wynosi $a/(2\sqrt3)$. Trójkąt wpisany w ten okrąg ma bok $\sqrt3\cdot a/(2\sqrt3)=a/2$. Obwody tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie $1/2$, a pola — o ilorazie $1/4$.

b) Pierwszy obwód wynosi $12$, a pierwsze pole $4\sqrt3$. Sumujemy po pięć wyrazów odpowiednich ciągów.

Warunek arytmetyczności ma postać $\frac{2}{x+z}=\frac1{x+y}+\frac1{y+z}.$ Po pomnożeniu przez iloczyn niezerowych mianowników dostajemy $2(x+y)(y+z)=(x+z)(x+2y+z).$ Po rozwinięciu i skróceniu wspólnych składników pozostaje $2y^2=x^2+z^2$.

Jeśli $(a_n)$ jest arytmetyczny o różnicy $r$, to $a_{n+1}-a_n=r$. Wobec tego $\frac{b_{n+1}}{b_n}=2^{a_{n+1}-a_n}=2^r,$ czyli iloraz nie zależy od $n$.