MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 186

a) W jedenastu wyrazach środkowy jest $a_6$, więc $S_{11}=11a_6=0$.

b) Jedenaście pierwszych wyrazów o numerach nieparzystych ma jako środkowy wyraz $a_{11}=20$, zatem ich suma wynosi $11\cdot20$.

a) Liczby zapisujemy jako $7-d,7,7+d$. Po zmianie otrzymujemy $7-d,6,13+d$. Warunek geometryczności daje $36=(7-d)(13+d)$, czyli $d=5$ lub $d=-11$.

b) Liczby mają postać $4-d,4,4+d$. Po zmianie są to $5-d,6,10+d$. Z równania $36=(5-d)(10+d)$ mamy $d=2$ lub $d=-7$.

Suma dziesięciu wyrazów nieparzystych wynosi $10(a_1+9r)$, a parzystych $10(a_1+10r)$. Stąd $\frac{a_1+10r}{a_1+9r}=\frac98,$ czyli $a_1=-r$. Drugi warunek daje $a_3+a_7=2a_1+8r=12$, więc $r=2$ i $a_1=-2$.

Zapisujemy liczby jako $y/q,y,yq$. Niech $T=q+1+1/q$. Wtedy $yT=15$ oraz $T/y=3/20$, zatem $T^2=9/4$. Równanie $q+1+1/q=3/2$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, a dla $T=-3/2$ mamy $y=-10$ oraz $q=-2$ lub $q=-1/2$.

Druga suma jest $q$ razy większa od pierwszej, więc $q=136/68=2$. Z $a_1(1+2^4)=68$ mamy $a_1=4$. Teraz $S_n=4(2^n-1)=2044$, zatem $2^n=512$.

Suma pięciu ostatnich wyrazów jest $q$ razy większa od sumy pięciu pierwszych, więc $q=33/11=3$. Następnie $a_1(1+3+9+27+81)=11$, skąd $a_1=1/11$, a $a_6=a_1q^5=243/11$.

Niech liczby geometryczne będą równe $x,xq,xq^2$. Jako wyrazy pierwszy, drugi i czwarty ciągu arytmetycznego spełniają $xq^2=x+3(xq-x)$, więc $q^2-3q+2=0.$ Dla $q=1$ suma daje $x=28/3$, a dla $q=2$ mamy $7x=28$.

a) Dla różnicy $r$ warunek $(4+2r)^2=4(4+6r)$ daje $r=0$ lub $r=2$. Stąd $S_9=36$ lub $S_9=108$.

b) Warunek $(-1+r)^2=(-1)(-1+4r)$ daje $r=0$ lub $r=-2$. Ciąg ma być malejący, więc $r=-2$, a $S_6=3(-2+5r)=-36$.