MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 184

a) Dzielimy $a_1-a_4=a_1(1-q^3)$ przez $S_3=a_1(1+q+q^2)$. Otrzymujemy $1-q=1/2$, więc $q=1/2$ i $a_1=20$.

b) Warunek $\frac{a_1-a_3}{S_4}=\frac{1-q}{1+q^2}=\frac25$ daje $2q^2+5q-3=0$, zatem $q=1/2$ lub $q=-3$. Odpowiednio $a_1=32/3$ albo $a_1=-1$.

Mamy $S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=33$ oraz $a_1-a_6=a_1(1-q^5)=99$. Dzielenie równań daje $1-q=3$, więc $q=-2$. Kolejnych pięć wyrazów ma sumę $q^5S_5=-32\cdot33$, zatem $S_{10}=S_5(1+q^5)$.

Dla $q=-1$ kolejne wyrazy to $x,-x,x,-x,\ldots$. Każda para ma sumę zero. Przy nieparzystej liczbie wyrazów pozostaje jeszcze pierwszy wyraz $x$.

Warunki zapisujemy jako $a_1q^3(1+q)=72,\qquad a_1q^2(q-1)=12.$ Ich iloraz daje $q(1+q)/(q-1)=6$, czyli $q=2$ lub $q=3$. Dla $q=2$ mamy $a_1=3$, a dla $q=3$ mamy $a_1=2/3$. Obliczamy $S_7$ w obu przypadkach.

Suma wyrazów od piątego do ósmego jest równa $q^4S_4$. Zatem $q^4=72/8=9$. Monotoniczność wyklucza ujemny iloraz, więc $q=\sqrt3$. Ponadto $a_1(1+q+q^2+q^3)=8$, skąd $a_1=\sqrt3-1$. Wobec tego $a_5=a_1q^4$.

Suma kolejnych pięciu wyrazów jest równa $q^5S_5$. Warunek $S_5/(q^5S_5)=3/4$ daje $q^5=4/3$. Ponieważ $a_6=a_1q^5$, nie trzeba obliczać samego $q$.

Suma wyrazów parzystych jest $q$ razy większa od sumy wyrazów nieparzystych, więc $q=682/341=2$. Suma nieparzystych wyrazów wynosi $a_1(1+q^2+q^4+q^6+q^8)=341a_1.$ Stąd $a_1=1$.

Dodatniość wyrazów daje $a_2a_3=\sqrt{324}=18$. Z $a_1-a_2=a_1(1-q)=6$ mamy $a_1=6/(1-q)$. Warunek $a_2a_3=a_1^2q^3=18$ prowadzi do $2q^3=(1-q)^2,$ którego jedynym dodatnim rozwiązaniem mniejszym od $1$ jest $q=1/2$. Zatem $a_1=12$.

Suma trzech następnych wyrazów jest $q^3$ razy większa od sumy trzech pierwszych. Stąd $q^3=168/21=8$, czyli $q=2$. Następnie $a_1(1+2+4)=21$, więc $a_1=3$. Rozwiązujemy $3\cdot2^{n-1}=192$.

Druga podana suma jest $q^2$ razy większa od pierwszej, zatem $q^2=372/93=4$ i $q=2$ albo $q=-2$.

Dla $q=2$ czynnik sumy pięciu wyrazów wynosi $31$, więc $a_1=3$. Dla $q=-2$ czynnik wynosi $1-2+4-8+16=11$, więc $a_1=93/11$.

Niech ciąg ma $2m$ wyrazów. Suma wyrazów parzystych to