MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 183

Wyznaczamy $q=a_2/a_1$ i korzystamy ze wzoru na $S_8$.

a) $q=2$: $S_8=\frac1{16}(2^8-1)=255/16$.

b) $q=1/3$: $S_8=18(1-3^{-8})/(1-1/3)=6560/243$.

c) $q=-2$: $S_8=15(1-2^8)/3=-1275$.

d) $q=1$: $S_8=8\cdot(-7)=-56$.

Podstawiamy dane do wzoru na sumę.

a) $S_8=-(2^8-1)=-255$.

b) $S_5=\frac29\frac{(3/2)^5-1}{1/2}=211/72$.

c) Ponieważ $(-\sqrt2)^{10}=32$, $S_{10}=3(1-32)/(1+\sqrt2)=93(1-\sqrt2)$.

d) Przy $q=1$ mamy $S_{20}=20\cdot5=100$.

W pierwszym wierszu $S_n=3^n-1=242$, więc $n=5$ i $a_n=162$.

W drugim $a_7=a_1(1/2)^6=-1/2$, zatem $a_1=-32$ i $S_7=-127/2$.

W trzecim $a_8=\sqrt8(-\sqrt2)^7=-32$, a $S_8=\sqrt8(1-16)/(1+\sqrt2)=30\sqrt2-60$.

Pola mają pierwszy wyraz $1$ i iloraz $1/2$, więc $S_P=\frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2}=\frac{1023}{512}.$ Boki, a zatem również obwody, mają iloraz $1/\sqrt2$. Pierwszy obwód wynosi $4$, dlatego

Dzielimy podaną sumę przez czynnik $1+q+\cdots+q^{n-1}$.

a) $a_1=60/15=4$. b) $a_1=2046/(15/8)=5456/5$. c) $a_1=728/364=2$. d) Czynnik sumy to $11/16$, więc $a_1=48$. e) Czynnik sumy to $7(1-\sqrt2)$, więc $a_1=1+\sqrt2$. f) Dla trzynastu wyrazów i $q=-1$ suma jest równa $a_1$.

Mamy $S_n=5(2^n-1)$. Przyrównujemy kolejno do podanych wartości: $2^n=64$, $2^n=512$ i $2^n=1024$.

a) $2(1-(-2)^n)=258$, więc $(-2)^n=-128$ i $n=7$.

b) $\frac52(3^n-1)=1820$, więc $3^n=729$ i $n=6$.

Niech najmniejsze pole będzie równe $a_1$. Dla $q=4/3$ i pięciu wyrazów czynnik sumy wynosi $\frac{(4/3)^5-1}{(4/3)-1}=\frac{781}{81}.$ Zatem $a_1\cdot781/81=781/90$.