MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 180

Obliczamy stały iloraz $a_{n+1}/a_n$.

a) $q=1/3$; wyrazy są dodatnie, więc ciąg jest malejący.

b) $q=-5$; znaki wyrazów zmieniają się, więc ciąg nie jest monotoniczny.

c) $q=\sqrt3>1$; wyrazy są dodatnie, więc ciąg jest rosnący.

d) $q=25$; wyrazy są ujemne i ich moduły rosną, więc ciąg jest malejący.

Wystarczy znaleźć dwa różne ilorazy kolejnych wyrazów.

a) Początkowe wyrazy to $1,2,5$, zatem $a_2/a_1=2$, ale $a_3/a_2=5/2$.

b) Początkowe wyrazy to $1,2,1$, zatem $a_2/a_1=2$, ale $a_3/a_2=1/2$.

W każdym podpunkcie zapisujemy $a_n=a_1q^{n-1}$ i odrzucamy ujemny iloraz, bo powodowałby zmianę znaków i brak monotoniczności.

a) Z $q^4=a_{10}/a_6=1/256$ mamy $q=1/4$, a $a_1=-4096$.

b) $q^2=3$ oraz $3a_1^2=1/4$, więc $q=\sqrt3$ i $a_1=\pm\sqrt3/6$.

c) Z $a_2^2=25a_3^2$ mamy $q=1/5$, a warunek $a_1a_5=1$ daje $a_1=\pm25$.

d) Iloraz drugiego równania przez pierwsze daje $q-1=4$, więc $q=5$ i $a_1=1$.

e) Mamy $a_2a_4=a_3^2=1$ oraz $a_2^2=4$, zatem $q=1/2$ i $a_1=\pm4$.

f) $a_2^2=a_1a_3=6$, a $a_3^2-a_2^2=6(q^2-1)=12$. Stąd $q=\sqrt3$ i $a_1=\pm\sqrt2$.

Niech kolejne liczby będą równe $a,aq,aq^2,aq^3$. Z warunków $aq(1+q)=24,\qquad a(1+q^3)=36$ otrzymujemy $q+1/q=5/2$, czyli $q=2$ lub $q=1/2$. Pierwszy przypadek dawałby ciąg rosnący, zatem $q=1/2$. Wtedy $3a/4=24$, więc $a=32$.

Zapisujemy $y=xq$, $z=xq^2$. Pierwszy warunek daje $2x+2y=y+z,\qquad q^2-q-2=0.$ Stąd $q=2$ lub $q=-1$. Iloraz $-1$ nie daje ciągu monotonicznego. Dla $q=2$ suma wynosi $x(1+2+4)=7x=77$.

a) Trójkąty powstałe po opuszczeniu wysokości są podobne do trójkąta wyjściowego i do siebie. Z proporcji odpowiadających boków otrzymujemy $h/x=y/h$, czyli $h^2=xy$ i $h=\sqrt{xy}$.

b) W półokręgu o średnicy $x+y$ wysokość z punktu podziału średnicy ma długość $\sqrt{xy}$. Nie może być większa od promienia $(x+y)/2$, więc $\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}.$ Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy punkt podziału jest środkiem średnicy, czyli $x=y$.