MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 179

W każdym wzorze iloraz $a_{n+1}/a_n$ jest stały. Dla $q<0$ znaki się zmieniają. Dla $q>0$ monotoniczność ustalamy z wartości $q$ i znaku pierwszego wyrazu.

Jeżeli $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q$, to $b=aq$ i $c=aq^2$, zatem $b^2=a^2q^2=ac$.

Odwrotnie, dla niezerowych $a,b,c$ równość $b^2=ac$ po podzieleniu przez $ab$ daje $b/a=c/b$. Oba kolejne ilorazy są więc równe, czyli liczby tworzą ciąg geometryczny.

Korzystamy z warunku $b^2=ac$, lecz osobno sprawdzamy przypadki zawierające zera.

a) $(x+1)^2=x(x-3)$, więc $x=-\frac15$.

b) $x^2=\frac{3x^2}{x+1}$ przy $x\ne-1$, czyli $x^2(x-2)=0$.

c) $(x+1)^2=(x^2-1)(2x-1)$, stąd $2x(x-2)(x+1)=0$. Kandydat $x=-1$ daje $0,0,-3$, co nie jest ciągiem geometrycznym; dwa pozostałe działają.