Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 178

rozdział 3. Ciagi · temat „3.10. Ciąg geometryczny (2)” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla $q>0$ wszystkie wyrazy zachowują znak $a_1$ . Ponieważ $a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)$ i $a_n<0$ , znak różnicy jest przeciwny do znaku $q-1$ . Zatem dla $0<q<1$ ciąg rośnie, dla $q>1$ maleje, a dla $q=1$ jest stały.

b) Dla $q<0$ znaki wyrazów zmieniają się, więc niestały ciąg nie jest monotoniczny. Dla $q=0$ po pierwszym wyrazie występują zera. Przykłady w tabeli ilustrują wszystkie przypadki.

Odpowiedź

	$a_1<0$	$a_1>0$
$q<0$	$-4,8,-16,\ldots$ — niemonotoniczny	$1,-2,4,-8,\ldots$ — niemonotoniczny
$q=0$	$-3,0,0,\ldots$ — niemalejący	$4,0,0,\ldots$ — nierosnący
$0<q<1$	$-4,-2,-1,\ldots$ — rosnący	$4,2,1,\ldots$ — malejący
$q>1$	$-4,-8,-16,\ldots$ — malejący	$4,8,16,\ldots$ — rosnący

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z ilorazu podanych wyrazów otrzymujemy parzystą potęgę $q$ , więc początkowo są dwa znaki. Ujemne $q$ dawałoby naprzemienne znaki i brak monotoniczności; wybieramy dodatnie $q$ , a potem wyznaczamy $a_1$ .

Odpowiedź

a) $a_n=\frac89(\frac32)^{n-1}$ ; b) $a_n=-2^{4-n}$ ; c) $a_n=-2^n$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem