Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 177

rozdział 3. Ciagi · temat „3.9. Ciąg geometryczny (1)” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 2

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po usunięciu niewymierności z mianownika mamy $a_1=1+\sqrt2$ , a iloraz $q=\sqrt2$ .

b) Ponieważ $1/(\sqrt2-1)=\sqrt2+1$ , iloraz wynosi $q=\sqrt2+1$ . Mnożymy przez niego jeszcze dwa razy.

Odpowiedź

a) $a_4=4+2\sqrt2$ , $a_5=4\sqrt2+4$ ; b) $a_4=3+2\sqrt2$ , $a_5=7+5\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzieląc dwa podane wyrazy, otrzymujemy odpowiednią potęgę $q$ . Wyznaczamy wszystkie rzeczywiste wartości $q$ , a następnie $a_1=a_k/q^{k-1}$ .

Odpowiedź

a) $a_n=\frac{125}{96}(\frac8{25})^{n-1}$ ; b) $a_n=\frac{54}{25}(\frac56)^{n-1}$ ; c) $a_n=-\frac72(-2)^{n-1}$ lub $a_n=\frac72\,2^{n-1}$ ; d) $a_n=-\frac34\,2^{n-1}$ ; e) $a_n=-1024(-\frac12)^{n-1}$ lub $a_n=1024(\frac12)^{n-1}$ ; f) $a_n=-\frac1{243}(-3)^{n-1}$ lub $a_n=\frac1{243}3^{n-1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie wyznaczamy iloraz z dwóch znanych wyrazów, a następnie mnożymy lub dzielimy przez niego, przesuwając się wzdłuż ciągu.

Odpowiedź

a) $-243,-81,-3$ ; b) $\frac3{16},-\frac38,\frac34,-\frac32$ ; c) $3,12,24,96$ ; d) $\frac13,-1,-9,27$ ; e) $4,2,1,\frac12$ ; f) $\frac53,5,15,45$ . W każdym wierszu podano brakujące wyrazy od lewej do prawej.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po wstawieniu trzech liczb otrzymujemy pięć wyrazów, więc $y=xq^4$ . Rozwiązujemy równanie dla rzeczywistego $q$ i wypisujemy trzy wyrazy pośrednie.

Odpowiedź

a) $-4,-8,-16$ lub $4,-8,16$ ; b) $12,48,192$ lub $-12,48,-192$ ; c) $7,7,7$ lub $-7,7,-7$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Warunki mają postać $a_1q(1+q)=6$ oraz $a_1q(q^2-1)=24$ . Ich iloraz daje $q-1=4$ , więc $q=5$ i $a_1=\frac15$ .

b) Mamy $a_1q(1+q^4)=-34$ oraz $a_1(1+q^4)=17$ . Dzielenie stronami daje $q=-2$ , a następnie $a_1=1$ .

Odpowiedź

a) $a_n=5^{n-2}$ ; b) $a_n=(-2)^{n-1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem