MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 174

Rozwiązujemy równanie $a_n=a_1+(n-1)r$ dla ostatniego podanego wyrazu, a potem stosujemy wzór na sumę.

a) $34=4+3(n-1)$, więc $n=11$.

b) $\frac{29}{3}=\frac13+\frac23(n-1)$, więc $n=15$.

c) $-41=-3-2(n-1)$, więc $n=20$.

a) Liczby parzyste leżące ściśle między granicami to $22,24,\ldots,2020$. Jest ich $1000$.

b) Dodatnie liczby dwucyfrowe nieparzyste to $11,13,\ldots,99$. Jest ich $45$.

Każdą klasę reszt zapisujemy jako skończony ciąg arytmetyczny.

a) $1,6,\ldots,96$ — $20$ wyrazów.

b) $11,15,\ldots,79$ — $18$ wyrazów.

c) Reszty większe od $3$ to $4$ i $5$. Sumujemy osobno ciągi $4,10,\ldots,94$ oraz $5,11,\ldots,95$.

Stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń: do sum wielokrotności obu liczb odejmujemy sumę wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Wszystkie wielokrotności ograniczamy do $1000$.

a) $\Sigma_2+\Sigma_3-\Sigma_6$. b) $\Sigma_3+\Sigma_5-\Sigma_{15}$. c) $\Sigma_5+\Sigma_9-\Sigma_{45}$.

Od sumy wszystkich liczb z danego zakresu odejmujemy sumę wielokrotności $3$ należących do tego zakresu.

a) Liczymy dla $10,\ldots,99$. b) Liczymy dla $100,\ldots,999$. c) Liczymy dla $1,\ldots,499$.

W dziesięciowyrazowym ciągu arytmetycznym suma wyrazów skrajnych jest taka sama jak suma dwóch środkowych, więc $a_1+a_{10}=8$. Jednocześnie $a_1a_{10}=7$. Skrajne wyrazy są zatem pierwiastkami równania $t^2-8t+7=0$, czyli są równe $1$ i $7$. Ponieważ $a_{10}=a_1+9r$, dostajemy dwa ustawienia. Ponadto $S_{10}=5(a_1+a_{10})=40$.

a) Lewa strona to sześciokrotność sumy od $1$ do $n$: $6(1+2+\cdots+n)=6\cdot\frac{n(n+1)}2=3n(n+1).$

b) Ciąg ma $n$ wyrazów, pierwszy $4$, a ostatni $6n-2$, więc $S_n=\frac{4+(6n-2)}2n=n(3n+1).$

Przyrównujemy wzór $S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)r)$ do $546$ i wybieramy dodatni całkowity pierwiastek.

a) $n(n+5)=546$. b) $n(2n+11)=546$. c) $n(n-25)=546$.

a) Jeśli ostatnim wyrazem jest $x=1+4(n-1)$, to $\frac n2(1+x)=190$. Otrzymujemy $n=10$ i $x=37$.

b) Jest $13$ składników. Suma liczb $1,3,\ldots,25$ wynosi $169$, więc $169+13x=130$.

c) Sumujemy osobno $1+\cdots+50=1275$ i pierwszych $50$ liczb nieparzystych, których suma wynosi $2500$. Stąd $1275+2500x=275$.

d) Suma stałych $1,5,\ldots,61$ wynosi $496$, a suma współczynników przy $x$ to $1+\cdots+16=136$. Zatem $496+136x=-48$.

Upraszczamy sumy w liczniku.

a) $a_n=\frac52\frac{n(n+1)}{n+3}$, a $a_{n+1}-a_n=\frac52\frac{(n+1)(n+6)}{(n+3)(n+4)}>0$.

b) $a_n=\frac32\frac{n(n+1)}{n+5}$, a $a_{n+1}-a_n=\frac32\frac{(n+1)(n+10)}{(n+5)(n+6)}>0$.

c) $a_n=3+\frac3n$, więc różnica jest ujemna.

d) $a_n=\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac1{n+1}$, więc różnica jest dodatnia.