Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 173

rozdział 3. Ciagi · temat „3.8. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy bezpośrednio ze wzoru $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2a_1+9r\right).$

Odpowiedź

a) $115$ ; b) $-185$ ; c) $10{,}5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z różnicy dwóch podanych wyrazów wyznaczamy $r$ , potem $a_1$ , $a_{10}$ i $S_{10}=5(a_1+a_{10})$ .

a) $4r=8$ , więc $r=2$ .

b) $2r=2$ , więc $r=1$ .

c) $2r=-12$ , więc $r=-6$ .

Odpowiedź

a) $a_1=0$ , $a_{10}=18$ , $S_{10}=90$ ; b) $a_1=-4$ , $a_{10}=5$ , $S_{10}=5$ ; c) $a_1=18$ , $a_{10}=-36$ , $S_{10}=-90$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyłączamy $n$ przed nawias:

=n\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac{n^3+n^2}{2}.$$ b) Jest to suma pierwszych $n-1$ liczb naturalnych: $$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n}{2}.$$

Odpowiedź

Oba wzory zachodzą dla każdego $n\in\mathbb N_+$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyznaczamy liczbę składników z równania $a_n=a_1+(n-1)r$ , a następnie liczymy sumę ze skrajnych wyrazów.

a) $n=12$ . b) $n=200$ . c) $n=14$ .

d) Składniki od $-18$ do $18$ łączą się w pary o sumie zero.

Odpowiedź

a) $348$ ; b) $10\,050$ ; c) $-252$ ; d) $0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Liczby to $3,8,\ldots,98$ ; jest ich $20$ .

b) Liczby to $4,9,\ldots,99$ ; także jest ich $20$ .

c) Oba zbiory są rozłączne, więc dodajemy wyniki z a i b.

Odpowiedź

a) $1010$ ; b) $1030$ ; c) $2040$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem