MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 170

Jeżeli punkt $(n,a_n)$ leży na prostej $y=px+q$, to $a_n=pn+q$. Podstawiamy kolejno $n=1,2,3,4$.

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez oba podane punkty, a potem rozwiązujemy nierówność $a_n>0$ dla $n\in\mathbb N_+$.

a) Nachylenie to $(1-(-1))/(5-1)=\frac12$, więc $a_n=\frac12n-\frac32$ i $n>3$.

b) Nachylenie to $(-1-3)/(5-3)=-2$, więc $a_n=-2n+9$ i $n<\frac92$.

c) Nachylenie to $(1-2)/(6-2)=-\frac14$, więc $a_n=-\frac14n+\frac52$ i $n<10$.

W rekurencji $a_{n+1}-a_n$ jest stałe i dodatnie, więc ciąg jest arytmetyczny i rosnący. Stosujemy $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) Obliczamy $a_n=f(n+1)-f(n)=2n-1.$ Jest to wzór liniowy, a $a_{n+1}-a_n=2$, więc ciąg jest arytmetyczny.

b) Oznaczmy współczynniki funkcji przez $A,B,C$. Wtedy $f(n+1)-f(n)=A((n+1)^2-n^2)+B=2An+A+B.$ Zatem różnica kolejnych wyrazów wynosi stale $2A$.

a) Zapisujemy boki rosnąco jako $x-3,x,x+3$. Twierdzenie Pitagorasa daje $(x-3)^2+x^2=(x+3)^2$, czyli $x(x-12)=0$. Dodatnie długości dają $x=12$, zatem boki to $9,12,15$.

b) Niech boki będą równe $x-r,x,x+r$, przy czym $x+r=10$. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $x=4r$, więc $5r=10$. Stąd $r=2$, a przyprostokątne mają długości $6$ i $8$.

a) Jeśli boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, zapiszmy je jako $x-r,x,x+r$, gdzie $r>0$. Z równania Pitagorasa $(x-r)^2+x^2=(x+r)^2$ wynika $x=4r$. Boki są więc równe $3r,4r,5r$, czyli trójkąt jest podobny do trójkąta $3,4,5$. Odwrotnie, boki $3t,4t,5t$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $t$.

b) Niech skala podobieństwa będzie równa $t$. Z obwodu $12t=18$ mamy $t=\frac32$. Przyprostokątne to $\frac92$ i $6$, więc pole wynosi $\frac12\cdot\frac92\cdot6=\frac{27}{2}$.

a) Różnicą jest współczynnik przy $n$: $k^2+2k-1$. Ciąg jest malejący, gdy $k^2+2k-1<0$, czyli między pierwiastkami $-1\pm\sqrt2$.

b) Jeśli $k^2-1\ne0$, wyrazy dążą do zera. Ciąg arytmetyczny o skończonej granicy musiałby być stały, czego ten wzór nie spełnia. Zatem $k^2-1=0$. Dla $k=1$ różnica wynosi $\frac12$, a dla $k=-1$ wynosi $-\frac12$, więc wybieramy $k=-1$.

Każdy wzór jest liniowy względem $n$, więc ciąg jest arytmetyczny. Musimy wymagać, aby współczynnik przy $n$ był dodatni.

a) $2\sin k+1>0$, czyli $\sin k>-\frac12$.

b) $1-4\cos^2k>0$, czyli $|\cos k|<\frac12$.