MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 169

Dla $n=1,2,3,4,5$ iloczyn zawiera czynnik równy zeru, więc $a_n=n$. Natomiast $a_6=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1+6=126$. Pierwsze różnice są równe $1$, lecz $a_6-a_5=121$, zatem różnica nie jest stała.

Dla wzorów liniowych różnica jest stała. W podpunkcie d upraszczamy $\frac{9n^2-4}{3n+2}=\frac{(3n-2)(3n+2)}{3n+2}=3n-2.$

W c różnica wynosi $\frac{2}{(n+1)(n+2)}$, więc zależy od $n$. W f pierwsze wyrazy to $6,15,24,30$; różnice $9,9,6$ nie są stałe.

a) Różnica wynosi $-2$, więc $a_n=6-2(n-1)=-2n+8$. Punkty $(n,a_n)$ leżą na prostej $y=-2x+8$; do szkicu wystarczą na przykład $(1,6),(2,4),(3,2),(4,0),(5,-2)$.

b) Dla dodatnich całkowitych argumentów przyjmujemy $a_n=3n-2$ i podstawiamy $n=1,\ldots,5$.

Niech różnica ciągu $(a_n)$ będzie równa $r$. Obliczamy $b_{n+1}-b_n$.

a) Otrzymujemy $3(a_{n+1}-a_n)=3r$.

b) Otrzymujemy $-2(a_{n+1}-a_n)+1=-2r+1$.

c) Otrzymujemy $-\frac14(a_{n+1}-a_n)=-\frac r4$.

Każdy wynik jest stały, więc każdy ciąg $(b_n)$ jest arytmetyczny.

Jeżeli ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r$, to $a_n=a_1+(n-1)r=rn+(a_1-r).$ Zatem każdy punkt $(n,a_n)$ leży na prostej $y=rx+(a_1-r)$.

Odwrotnie, jeżeli punkty wykresu ciągu leżą na prostej $y=px+q$, to $a_n=pn+q$, a więc $a_{n+1}-a_n=p$ dla każdego $n$. Różnica jest stała, czyli ciąg jest arytmetyczny.

Niech różnice ciągów $(a_n)$ i $(b_n)$ będą równe odpowiednio $r$ i $s$. Odejmujemy $c_n$ od $c_{n+1}$.

a) Dostajemy $2r+3s$.

b) Dostajemy $3r-4s+\frac12$.

c) Dostajemy $\frac{4r-\sqrt2s}{3}$.

W każdym przypadku różnica jest stała, więc $(c_n)$ jest arytmetyczny.