MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 167

Po wstawieniu pięciu liczb mamy sześć równych odstępów, a po wstawieniu siedmiu — osiem. Zatem odpowiednie różnice to $(25-1)/6=4$ i $(25-1)/8=3$.

Wzrost w wieku 3 lat jest pierwszym wyrazem, a w wieku 6 lat — czwartym. Stąd $r=\frac{117{,}5-98}{3}=6{,}5\ \text{cm}.$ Dodajemy po $6{,}5$ cm dla każdego następnego roku.

Odejmując podane równania, korzystamy z $a_j-a_i=(j-i)r$. Następnie wyznaczamy $a_1$ i stosujemy $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $4r=4-20$, więc $r=-4$ i $a_1=40$.

b) $12r=-3-(-9)$, więc $r=\frac12$ i $a_1=-10$.

c) $16r=8-4$, więc $r=\frac14$ i $a_1=3$.

Wstawiamy $a_n=a_1+(n-1)r$ do obu warunków.

a) Dostajemy $a_1+2r=11$ oraz $a_1=21(a_1+4r)$. Układ daje $r=-5$, $a_1=21$.

b) $2a_1+3r=11$ i $4r=20$, zatem $r=5$, $a_1=-2$.

c) Z $a_3+a_5=8$ mamy $a_1+3r=4$, czyli $a_4=4$. Pierwszy warunek daje $(a_1+r)^2=0$, stąd $r=2$, $a_1=-2$.

d) Z pierwszego warunku $a_1+3r=2$, czyli $a_4=2$. Z $a_2a_4=6$ mamy $a_1+r=3$, więc $r=-\frac12$ i $a_1=\frac72$.

e) Równość $a_5/a_1=-1$ daje $a_1=-2r$. Wtedy $a_2a_7=(-r)(4r)=-1$, więc $r=\pm\frac12$.

f) Suma trzech pierwszych wyrazów daje $a_1+r=1$. Zatem $a_3=1+r$, $a_4=1+2r$ i $(r-1)(1+2r)=5$. Stąd $r=2$ lub $r=-\frac32$.

Warunek arytmetyczności zapisujemy jako podwojony wyraz środkowy równy sumie skrajnych, a potem sprawdzamy dodatniość różnicy.

a) $2(2+x)=-2+4+x^2$, więc $x^2-2x-2=0$. Oba pierwiastki dają dodatnią różnicę $x+4$.

b) $2(3x-5)=2x-3+\frac14x^2+x-2$, czyli $x^2-12x+20=0$. Kandydaci to $2$ i $10$, ale dla $x=2$ różnica jest zerowa, więc zostaje $10$.

Niech pierwszy wyraz będzie równy $a_1$, a różnica $r$. Z $a_2+a_4=2$ mamy $2a_1+4r=2$, czyli $a_1+2r=1$. Ponadto $a_6-a_3=3r=9$, więc $r=3$ i $a_1=-5$. Stąd $a_n=-5+3(n-1)=3n-8$. Równanie $3n-8=40$ daje $n=16$.

Zapiszmy liczby jako $x,x+1,x+2,x+3$. Warunek ma postać $(x+1)(x+2)(x+3)=-60$. Po podstawieniu $y=x+2$ otrzymujemy $y^3-y+60=(y+4)(y^2-4y+15)=0.$ Trójmian ma ujemną deltę, zatem jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest $y=-4$, czyli $x=-6$.

Z $a_5-a_3=2r=6$ mamy $r=3$. Równość $a_3=a_1+2r=4$ daje $a_1=-2$. Jeśli ostatnim wyrazem jest $a_N$, to $-2+3(N-1)=40$, skąd $N=15$.

a) Niech liczby będą równe $x,x+r,x+2r,x+3r$. Warunki dają $2x+r=4$ i $2x+5r=-28$. Po odjęciu otrzymujemy $4r=-32$, więc $r=-8$ i $x=6$.

b) Przy różnicy $2$ wygodnie zapisać liczby jako $x-3,x-1,x+1,x+3$. Ich iloczyn to $(x^2-9)(x^2-1)=-15$. Dla $u=x^2$ mamy $u^2-10u+24=0$, więc $u=4$ lub $u=6$, a zatem $x=\pm2$ lub $x=\pm\sqrt6$.