MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 162

Podstawiamy $a_n=n-1$ i $b_n=n+1$ do każdej definicji, upraszczamy, a następnie przyjmujemy $n=1,2,3,4$.

a) $c_n=n^2+\frac{12}{n}$. Pierwsze wartości $13,10,13,19$ najpierw maleją, a potem rosną, więc ciąg nie jest monotoniczny.

b) $c_n=n^2-\frac{12}{n}$, a $c_{n+1}-c_n=2n+1+\frac{12}{n(n+1)}>0$.

c) $c_n=12n$ jest rosnący.

d) $c_n=\frac{n^3}{12}$ jest rosnący.

Jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są malejące, to $a_{n+1}-a_n<0$ oraz $b_{n+1}-b_n<0$. Dla ich sumy $c_n=a_n+b_n$ mamy $c_{n+1}-c_n=(a_{n+1}-a_n)+(b_{n+1}-b_n)<0.$ Zatem suma jest ciągiem malejącym.

Sprawdzamy w każdym przykładzie, że oba ciągi wejściowe są rosnące, a następnie upraszczamy ich iloczyn.

a) Dla $a_n=n$, $b_n=-\frac1n$ iloczyn jest stale równy $-1$.

b) Dla $a_n=b_n=-\frac1n$ iloczyn $\frac1{n^2}$ jest malejący.

c) Dla $a_n=n-2$, $b_n=n-3$ iloczyn zaczyna się od $2,0,0,2,\ldots$, więc nie jest monotoniczny.

a) Dla $a_n=n^2$ i $b_n=n$ oba ciągi są rosnące, a iloraz $c_n=n$ także jest rosnący.

b) Ciągi $a_n=-\frac1{n^2}$ i $b_n=-\frac1n$ są rosnące, ponieważ ich ujemne wyrazy zbliżają się do zera. Iloraz $c_n=\frac1n$ jest malejący.