MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 161

Oznaczmy $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ i $\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}$. Mamy $\varphi-\psi=\sqrt5$, $\varphi+\psi=1$ i $\varphi\psi=-1$.

Dla $n=1$ wzór daje $(\varphi-\psi)/\sqrt5=1$. Dla $n=2$ mamy $(\varphi^2-\psi^2)/\sqrt5=(\varphi-\psi)(\varphi+\psi)/\sqrt5=1$. Ponadto $\varphi^2+\psi^2=3$, więc dla $n=3$ otrzymujemy $(\varphi-\psi)(\varphi^2+\varphi\psi+\psi^2)/\sqrt5=2$, a dla $n=4$: $(\varphi^2-\psi^2)(\varphi^2+\psi^2)/\sqrt5=3$.