MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 163

Mamy $a_n=1-\frac1n$ i $b_n=4-\frac1n$.

a) Suma $5-\frac2n$ jest rosnąca.

b) Różnica jest stale równa $-3$.

c) Iloczyn to $4-\frac5n+\frac1{n^2}$, a jego różnica kolejnych wyrazów wynosi $\frac{5n^2+3n-1}{n^2(n+1)^2}>0$.

d) Iloraz ma postać $\frac{n-1}{4n-1}$, a jego różnica kolejnych wyrazów wynosi $\frac3{(4n-1)(4n+3)}>0$.

a) Skoro oba ciągi są rosnące, to $a_{n+1}-a_n>0$ i $b_{n+1}-b_n>0$. Zatem $c_{n+1}-c_n=2(a_{n+1}-a_n)+3(b_{n+1}-b_n)>0.$

b) Suma $a_n+b_n$ jest rosnąca. Funkcja $x\mapsto2^x$ także jest rosnąca, więc z $a_{n+1}+b_{n+1}>a_n+b_n$ wynika $2^{a_{n+1}+b_{n+1}}>2^{a_n+b_n}$.

Ciąg $a_n=4-\frac3{n+2}$ jest dodatni i rosnący, a $b_n=n^4$ również jest dodatni i rosnący. Dla $c_n=a_nb_n$ mamy

=a_{n+1}(b_{n+1}-b_n)+b_n(a_{n+1}-a_n)>0.$$ Zatem iloczyn jest rosnący.

Różnice wynoszą $a_{n+1}-a_n=2n>0,qquad b_{n+1}-b_n=(n+1)^4-n^4>0,$ więc oba ciągi są rosnące.

Iloczyn $c_n=(n^2-n-6)n^4$ zaczyna się od $c_1=-6,quad c_2=-96,quad c_3=-243,quad c_4=1536.$ Najpierw maleje, a potem rośnie, więc nie jest monotoniczny.

Dla obu ciągów iloraz kolejnych wyrazów wynosi $\frac14$, więc jako dodatnie ciągi są one malejące.

Iloczyn upraszcza się do $c_n=2^{-4n+3},$ którego iloraz kolejnych wyrazów wynosi $\frac1{16}$, zatem jest malejący. Iloraz danych ciągów to $d_n=\frac{2^{-2n+1}}{(1/4)^{n-1}}=\frac12,$ więc jest stały.

Ciąg liniowy jest rosnący, gdy współczynnik przy $n$ jest dodatni.

a) Potrzebujemy $\sin\alpha>0$, co w $[0,2\pi]$ zachodzi dla $\alpha\in(0,\pi)$.

b) Potrzebujemy $-(\cos\alpha+\frac12)>0$, czyli $\cos\alpha<-\frac12$.

Wartości $a_n$ powtarzają cykl $1,0,-1,0$, a wartości $b_n$ cykl $0,-1,0,1$.

a) Suma zaczyna się $1,-1,-1,1$, więc nie jest monotoniczna.

b) Różnica zaczyna się $1,1,-1,-1$ i dalej cykl się powtarza, więc nie jest monotoniczna.

c) Ciąg $n+a_n$ zaczyna się $2,2,2,4,6,6,6,8$; jego różnice są równe $0$ albo $2$, więc jest niemalejący.

d) W $2n-b_n$ różnice kolejnych wyrazów są dodatnie, bo zmiana $b_n$ ma wartość najwyżej $1$, a składnik $2n$ rośnie o $2$.

a) Jest to ciąg geometryczny o dodatnim pierwszym wyrazie i ilorazie $q=\frac{2k-1}{k+1}$. Ścisły wzrost wymaga $q>1$: $\frac{k-2}{k+1}>0,$ co daje $k<-1$ lub $k>2$.

b) Dla $k\geq0$ każdy mnożnik $nk+2$ jest co najmniej równy $2$, więc dodatnie wyrazy ściśle rosną. Gdy $k<0$, dla pewnego dodatniego $n$ mnożnik $nk+2$ staje się nie większy od $1$; wcześniej wyrazy są dodatnie, więc w tym kroku ścisły wzrost zawodzi.

Wypisujemy wartości funkcji podłoga dla kolejnych dodatnich indeksów.

a) $0,0,0,1,1,1,1,2,\ldots$ — wartości nigdy nie maleją.

b) $0,0,0,-1,-1,-1,-1,-2,\ldots$ — wartości nigdy nie rosną.

c) $-1,-1,-1,0,0,0,0,1,\ldots$ — wartości nigdy nie maleją.