MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 160

Wyznaczamy po kolei $a_1,\ldots,a_6$ i zliczamy wartości ujemne.

a) $1,1,-2,-13,-42,-109$ — cztery ujemne.

b) $-2,4,-6,20,-78,392$ — trzy ujemne.

c) $-1,-3,-3,-3,-3,-3$ — sześć ujemnych.

d) $2,-2,4,0,-4,32$ — dwie ujemne.

a) $a_3=1-2=-1$, $a_4=2-(-1)=3$, $a_5=-1-3=-4$.

b) $a_3=48$, $a_4=56$, więc $a_5=52$.

c) $a_3=-2$, $a_4=3$, a $a_5=(-1)^3(-2)-3=-1$.

d) $a_4=1+1+1=3$, a $a_5=3+1+1=5$.

a) Mamy $a_2=x-1$ oraz $a_5=x-(1^2+2^2+3^2+4^2)=x-30$. Warunek $a_2+a_5=9$ daje $2x-31=9$, czyli $x=20$. Każda różnica $a_{n+1}-a_n=-n^2<0$, więc ciąg jest malejący.

b) Kolejno $a_2=2x+1$ i $a_5=16x+5$. Stąd $18x+6=9$, więc $x=\frac16$. Mamy $a_2=\frac43>1$. Dalsze wyrazy pozostają większe od $1$; różnica $a_{n+1}-a_n=a_n+(-1)^{n-1}$ jest więc dodatnia dla każdego $n$. Ciąg jest rosnący.

Zapisujemy $a_2=a_1(a_1+1),\qquad a_3=a_2(a_2+2).$ Dla kandydatów $a_1=-2,-1,0,1,2$ wartości $a_2$ wynoszą odpowiednio $2,0,0,2,6$, a wartości $a_3$: $8,0,0,8,48$.

a) Dla $a_1=-1,1,2$ pary $(a_2,a_3)$ są odpowiednio $(2,0)$, $(0,0)$ i $(2,0)$. W każdym przypadku $a_4=0$.

b) Dla tych samych wartości początkowych pary $(a_2,a_3)$ wynoszą $(3,0)$, $(-1,4)$ i $(0,0)$. Dla $n=3$ mamy $a_4=a_3(a_3-4)=0$ we wszystkich trzech przypadkach.

Korzystamy z rozkładu $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}.$ Po zsumowaniu rekurencji wyrazy pośrednie redukują się i $a_n=a_1-1+\frac1n,$ czyli $a_1=a_n+1-\frac1n$. Podstawiamy dane wartości dla $n=2,3,4$.