Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 158

rozdział 3. Ciagi · temat „3.4. Ciągi określone rekurencyjnie” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Każdy nowy wyraz jest sumą dwóch poprzednich: $2,4,6,10$ .

b) Analogicznie: $4,7,11,18$ .

c) Liczymy $a_{n+1}=a_n^2-a_{n-1}$ : kolejno $0,-1,1,2$ .

d) Dla $n=2,3,4,5$ stosujemy $a_{n+1}=a_na_{n-1}-n$ , otrzymując $0,-3,-4,7$ .

Odpowiedź

a) $a_3=2$ , $a_4=4$ , $a_5=6$ , $a_6=10$ ; b) $a_3=4$ , $a_4=7$ , $a_5=11$ , $a_6=18$ ; c) $a_3=0$ , $a_4=-1$ , $a_5=1$ , $a_6=2$ ; d) $a_3=0$ , $a_4=-3$ , $a_5=-4$ , $a_6=7$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $a_{n+1}-a_n=4n^2-1>0$ , więc ciąg jest rosnący.

b) $a_{n+1}-a_n=-\frac1{2^n}<0$ , więc ciąg jest malejący.

c) Wszystkie wyrazy są dodatnie. Dla $n=1$ mamy $a_2=a_1$ , a dla $n\geq2$ mnożnik $n^2>1$ , więc ciąg jest niemalejący.

d) Mnożnik $\frac{3n+1}{n+2}>1$ dla każdego $n\geq1$ . Ponieważ $a_1>0$ , każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

Odpowiedź

a) rosnący; b) malejący; c) niemalejący; d) rosnący.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu