MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 156

Dla ciągu zawartego w prostej $y=ax+b$ różnica kolejnych wyrazów jest stała i równa współczynnikowi kierunkowemu $a$.

a) Prosta $y=-x+1$ ma współczynnik $-1<0$.

b) Prosta $y=-2$ ma współczynnik $0$.

c) Prosta $y=x-1$ ma współczynnik $1>0$.

Wzór ciągu to $a_n=(k-1)n$. O jego monotoniczności decyduje znak współczynnika $k-1$: ujemny daje ciąg malejący, dodatni rosnący, a zerowy stały.

Ciąg liniowy $a_n=An+B$ jest rosnący dokładnie wtedy, gdy $A>0$.

a) $2k-3>0$ daje $k>\frac32$.

b) $k^2-1>0$ daje $k<-1$ lub $k>1$.

c) $3-k^2>0$ daje $-\sqrt3<k<\sqrt3$.

Dla ciągu liniowego współczynnik przy $n$ musi być nie większy od zera dla ciągu nierosnącego i nie mniejszy od zera dla niemalejącego.

a) Badamy znak $3-\frac t3$.

b) Badamy znak $t^2-9$.

c) Współczynnik to $-t^2+2t=t(2-t)$.

W każdym podpunkcie ciąg liniowy jest malejący, gdy współczynnik przy $n$ jest ujemny, przy zachowaniu dziedziny parametru.

a) $\frac{k^2+1}{k}<0$. Licznik jest dodatni, więc $k<0$.

b) $\frac{k-1}{k}<0$, co zachodzi dla $0<k<1$.

c) $\frac{k}{k+1}<0$, co zachodzi dla $-1<k<0$.

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ dla wszystkich $n\geq1$.

a) Różnica wynosi $2n+1-p$. Jej najmniejsza wartość występuje dla $n=1$, więc musi zachodzić $3-p>0$.

b) Różnica wynosi $\frac{p}{(n+1)(n+2)}$, więc jest dodatnia dla $p>0$.

c) Różnica wynosi $\frac{2-p}{(n+2)(n+3)}$, więc jest dodatnia dla $p<2$.

a) Weźmy $a_n=-n$. Jest to ciąg malejący, natomiast $b_n=a_n^2=n^2$ jest rosnący.

b) Weźmy $a_n=-\frac1n$. Jest to ciąg rosnący, bo jego wyrazy zbliżają się do zera od strony ujemnej. Wtedy $b_n=\frac1{n^2}$ jest malejący.

a) Dla $a_n=-n$ ciąg $(a_n)$ jest malejący, a $b_n=|a_n|=n$ jest rosnący.

b) Dla $a_n=n-5$ ciąg $(a_n)$ jest rosnący. Wartości $|n-5|$ początkowo maleją do zera, a następnie rosną, więc ciąg $(b_n)$ nie jest monotoniczny.

a) Skoro $(a_n)$ jest rosnący, to $a_{n+1}-a_n>0$. Dla $c>0$ mamy $b_{n+1}-b_n=c(a_{n+1}-a_n)>0,$ bo składnik $d$ redukuje się. Zatem $(b_n)$ jest rosnący.

b) Dla ciągu malejącego $a_{n+1}-a_n<0$. Ponieważ $c<0$, iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni: $b_{n+1}-b_n=c(a_{n+1}-a_n)>0.$ Dodanie stałej $d$ nie zmienia różnic, więc $(b_n)$ jest rosnący.