MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 155

W każdym wzorze podstawiamy $n+1$ w miejsce $n$, rozwijamy kwadraty i redukujemy wyrazy podobne.

Badamy różnicę $a_{n+1}-a_n$ dla $n\geq1$.

a) Różnica wynosi $2n-1>0$, więc ciąg jest rosnący.

b) Różnica wynosi $-2n-1<0$, więc ciąg jest malejący.

c) Różnica wynosi $-\frac7{n(n+1)}<0$, więc ciąg jest malejący.

d) Po zapisaniu $a_n=-4+\frac2{n^2}$ widać, że składnik $\frac2{n^2}$ ściśle maleje; cały ciąg także jest malejący.

Sprowadzamy różnicę $a_{n+1}-a_n$ do wspólnego mianownika. Dla dodatnich indeksów mianowniki są dodatnie; w f mnożymy licznik i mianownik przez $-1$. Otrzymujemy znaki:

a) $-\frac2{(n+1)(n+2)}<0$; b) $\frac6{(n+2)(n+3)}>0$; c) $-\frac1{(2n-1)(2n+1)}<0$; d) $-\frac5{(4n+1)(4n+5)}<0$; e) $\frac{22}{(3n+5)(3n+8)}>0$; f) $-\frac1{(4n-3)(4n+1)}<0$.

Ponadto g) $a_n=n-\frac1n$, więc różnica to $1+\frac1{n(n+1)}>0$. W h) $a_n=n-1+\frac1{n+1}$, więc różnica to $1-\frac1{(n+1)(n+2)}>0$.

Obliczamy wartości dla $n=1,2,3,4,5$. W każdym podpunkcie występują zarówno wzrost, jak i spadek albo zmiana kierunku po minimum lub maksimum, więc żaden ciąg nie jest monotoniczny.

a) Obie niewiadome wartości leżą między wyrazami równymi $4$. Warunek niemalejący wymusza więc $a_5=a_6=4$.

b) Muszą zachodzić kolejno $\frac32\leq a_3\leq2\leq a_5\leq a_6\leq3.$

Wystarczy podać wartości spełniające wskazane równości i sprawdzić, że każdy kolejny wyraz nie jest większy od poprzedniego.

a) Dla $2,2,2,2,1,1,1,1$ mamy $a_2=a_3=2$ i $a_5=1$.

b) Dla $2,2,2,-1,-1,-1,-2,-2$ mamy $a_4=a_6=-1$ i $a_7=-2$.