MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 154

a) Początkowo wartości rosną, bo $a_1=1<a_2=2$, ale później maleją, bo $a_3=3>a_4=1$. Ciąg nie może więc być ani rosnący, ani malejący.

b) Mamy $a_1=-1>a_2=-\frac32$, lecz $a_4=-\frac52<-\sqrt5=a_5$. Raz występuje spadek, a innym razem wzrost, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Podstawiamy $n=1,2,3,4,5$. W każdym podpunkcie kierunek zmian odwraca się wśród tych wyrazów, co wystarcza do wykazania braku monotoniczności.

a) $4>1>0<1<4$.

b) $3<4>3>0>-5$.

c) $-1>-5>-7=-7<-5$.

W każdym wzorze zastępujemy $n$ przez $n+1$ i upraszczamy licznik oraz mianownik.

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$. Dla $n\geq1$ wszystkie występujące mianowniki są dodatnie.

a) $a_{n+1}-a_n=2n>0$.

b) $a_{n+1}-a_n=\frac4{(n+4)(n+5)}>0$.

c) $a_{n+1}-a_n=\frac6{(2n+1)(2n+3)}>0$.

d) $a_{n+1}-a_n=\frac1{(3n+1)(3n+4)}>0$.

Dla każdego $n\geq1$ obliczamy różnicę kolejnych wyrazów; mianowniki są dodatnie.

a) $a_{n+1}-a_n=-\frac1{(n+1)(n+2)}<0$.

b) $a_{n+1}-a_n=-\frac{14}{(5n-1)(5n+4)}<0$.

c) $a_{n+1}-a_n=-\frac1{(2n+3)(2n+5)}<0$.

d) $a_{n+1}-a_n= -\frac{2n+1}{(n^2+1)((n+1)^2+1)}<0$.