MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 152

a) Nachylenie prostej przez $(2,2)$ i $(6,0)$ wynosi $\frac{0-2}{6-2}=-\frac12$. Podstawienie $(6,0)$ daje wyraz wolny $3$.

b) Nachylenie jest równe $-\frac23$. Ciąg jest malejący, więc największy jest $a_1=\frac13$. Z równania $-\frac23+b=\frac13$ mamy $b=1$.

c) Prosta prostopadła do $y=3x$ ma nachylenie $-\frac13$. Z warunku $a_6=7$ otrzymujemy $-2+b=7$, czyli $b=9$.

Z opisu wykresu odczytujemy miejsca zerowe $1$ i $5$, więc parabola ma równanie $y=a(x-1)(x-5)$. W wierzchołku $(3,-4)$ zachodzi $-4=a(3-1)(3-5)=-4a,$ stąd $a=1$ i $a_n=n^2-6n+5$.

Nierówność $a_n\leq12$ ma postać $n^2-6n-7\leq0,\qquad (n-7)(n+1)\leq0.$ Dla dodatnich całkowitych indeksów daje to $1\leq n\leq7$.

Równanie paraboli o wierzchołku $(2,8)$ zapisujemy jako $y=a(x-2)^2+8.$ Ponieważ przechodzi przez $(0,0)$, mamy $4a+8=0$, czyli $a=-2$. Po rozwinięciu otrzymujemy $y=-2x^2+8x$.

Niech $y=ax^2+bx+c$. Punkt $(0,0)$ daje $c=0$. Z dwóch pozostałych punktów otrzymujemy $4a+2b=1,\qquad16a+4b=4.$ Po odjęciu podwojonego pierwszego równania od drugiego mamy $a=\frac14$, a następnie $b=0$. Zatem $a_n=\frac14n^2$.

a) Z postaci wierzchołkowej $a_n=A(n-3)^2+9$ i warunku $a_1=5$ dostajemy $A=-1$. Stąd $a_n=-n^2+6n$ i $a_8=-16$.

b) Z miejsc zerowych mamy $a_n=A(n+2)(n-4)$. Warunek $a_6=8$ daje $16A=8$, więc $A=\frac12$. Po rozwinięciu $a_n=\frac12n^2-n-4$, a $a_8=20$.

c) Przyjmujemy $a_n=An^2+Bn-4$. Warunki $a_2=4$ i $a_3=11$ dają $2A+B=4$ oraz $3A+B=5$, zatem $A=1$, $B=2$.