MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 151

Podstawiamy kolejno $n=1,2,3,4,5$. Przy potęgach $(-1)^n$ pamiętamy, że znak zależy od parzystości indeksu. W podpunkcie h czynnik $1+(-1)^n$ jest równy $0$ dla indeksów nieparzystych i $2$ dla parzystych.

Dla $n=1,3,5$ korzystamy z pierwszej gałęzi każdego wzoru, a dla $n=2,4,6$ z drugiej. Następnie upraszczamy wartości ułamków.

a) Licznik tworzą kolejne liczby nieparzyste $2n-1$, a mianownik jest od niego o $2$ większy.

b) Czynniki mianownika to kolejne liczby nieparzyste $2n-1$ i $2n+1$.

c) Wartość bezwzględna to $3^{-n}$, a znak zaczyna się od minusa.

d) Stopień pierwiastka jest równy indeksowi, a liczba pod pierwiastkiem wynosi $n+1$.

e) Licznik rośnie o $3$, a mianownik o $5$.

f) Czynnik $\frac{1+(-1)^n}{2}$ zeruje wyrazy nieparzyste, a dla parzystych pozostawia $3^{-n}$.

Szukamy dodatnich całkowitych indeksów zerujących licznik; mianowniki w b, d i f nie zerują się dla takich indeksów.

a) $n^2(n-3)=0$ daje $n=3$.

b) $n^2-4n+3=(n-1)(n-3)$ daje $n=1,3$.

c) $n^3-4n^2+4n=n(n-2)^2$ daje $n=2$.

d) $n(n^2-3n+4)=0$, a trójmian ma ujemną deltę, więc brak dodatniego indeksu.

e) $n^4-13n^2+36=(n^2-4)(n^2-9)$ daje $n=2,3$.

f) $(n^3-64)(64-n^2)=0$ daje $n=4,8$.

Rozwiązujemy nierówności kwadratowe i wybieramy dodatnie całkowite indeksy.

a) Pierwiastki $n^2-5n-10$ to $\frac{5\pm\sqrt{65}}2$, więc trójmian jest ujemny dla indeksów $1$–$6$.

b) $(n-1)(n-10)<0$ dla $1<n<10$.

c) Pierwiastki $3n^2-10n+8$ to $\frac43$ i $2$. Między nimi nie ma dodatniej liczby całkowitej.

a) Równanie $n^2-2n-14=1$ sprowadza się do $(n-5)(n+3)=0$, więc dodatni indeks to $5$.

b) Z równania $\frac{n^2-6n+15}{n+3}=1$ otrzymujemy $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)=0$.

c) $\sin\frac{n\pi}{2}=1$ dokładnie dla $n\equiv1\pmod4$.

a) Dla $n>0$ nierówność $n(n-5)<\frac{n}{n+5}$ możemy podzielić przez $n$ i pomnożyć przez $n+5>0$. Dostajemy $(n-5)(n+5)<1,\qquad n^2<26,$ czyli $n=1,2,3,4,5$.

b) Po przeniesieniu stron otrzymujemy $f(n)=n^3-5n^2-11n+39>0.$ Bezpośrednio $f(1),f(2)>0$, natomiast $f(3),f(4),f(5)<0$ i $f(6)>0$. Dla $n\geq6$ funkcja $f$ jest rosnąca, więc dalsze wartości też są dodatnie.

a) $a_n=1+\frac4n$ jest całkowite wtedy, gdy $n$ dzieli $4$.

b) $a_n=2+\frac6{n+1}$ jest całkowite, gdy $n+1$ jest dodatnim dzielnikiem $6$ większym od $1$.

c) $a_n=\frac{36}{n^2}-1$ jest całkowite, gdy $n^2$ dzieli $36$.

Wspólny punkt wykresów ciągów musiałby mieć ten sam dodatni całkowity indeks $n$ i tę samą wartość.

a) Równość $a_n=b_n$ daje $2n^2+7n+3=(2n+1)(n+3)=0.$ Oba rozwiązania są ujemne.

b) Równość daje $4n^3-4n^2+n=n(2n-1)^2=0.$ Rozwiązania $n=0$ i $n=\frac12$ nie są dodatnimi całkowitymi indeksami. Zatem wykresy w obu podpunktach nie mają wspólnych punktów.