Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 150

rozdział 3. Ciagi · temat „3.2. Sposoby określania ciągu” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 4

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpoznajemy kolejno: potęgi $3$ , liczby o jeden mniejsze od kwadratów, naprzemienne kwadraty, naprzemienne potęgi $3$ , pierwiastki z indeksów oraz prawidłowości w mianownikach. Jeden pasujący zestaw wzorów to poniższa odpowiedź.

Odpowiedź

a) $a_n=3^{n-1}$ ; b) $a_n=n^2-1$ ; c) $a_n=(-1)^n n^2$ ; d) $a_n=(-1)^{n+1}3^n$ ; e) $a_n=\sqrt n$ ; f) $a_n=\frac3{n^2+1}$ ; g) $a_n=\frac1{n(n+1)}$ ; h) $a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+3)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $n=4,5,6$ .

a) $n-2$ daje kolejno $2,3,4$ .

b) $(n-2)^3$ daje $2^3,3^3,4^3$ .

c) Dla $-\cos\frac{(n-1)\pi}{2}$ argumenty to $\frac{3\pi}{2}$ , $2\pi$ , $\frac{5\pi}{2}$ .

Odpowiedź

a) $a_4=2$ , $a_5=3$ , $a_6=4$ ; b) $a_4=8$ , $a_5=27$ , $a_6=64$ ; c) $a_4=0$ , $a_5=-1$ , $a_6=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Indeksy są dodatnimi liczbami naturalnymi. Rozwiązujemy osobno równanie $a_n=0$ i nierówność $a_n>0$ .

a) $12-3n=0$ daje $n=4$ , a dodatniość zachodzi dla $n<4$ .

b) Równanie $14-3n=0$ nie ma naturalnego rozwiązania; nierówność daje $n<\frac{14}{3}$ .

c) $n^2-4=0$ daje dodatni indeks $n=2$ ; wyrażenie jest dodatnie dla $n>2$ .

d) $40-n^2=0$ nie ma naturalnego rozwiązania; dodatniość wymaga $n<\sqrt{40}$ .

Odpowiedź

a) $a_4=0$ ; dodatnie: $a_1,a_2,a_3$ . b) Brak wyrazów zerowych; dodatnie: $a_1,a_2,a_3,a_4$ . c) $a_2=0$ ; dodatnie są wszystkie $a_n$ dla $n\geq3$ . d) Brak wyrazów zerowych; dodatnie: $a_1,\ldots,a_6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem