MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 144

Przekątna $AC$ ma długość $|AC|=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}.$ Jej połowa ma długość $\sqrt{10}$. Połówki przekątnych rombu są prostopadłe, więc z twierdzenia Pitagorasa połowa drugiej przekątnej ma długość $\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}.$ Druga przekątna ma zatem długość $2\sqrt{15}$, a pole rombu wynosi

Niech środek ma postać $S=(t,-t)$. Równość odległości od $A=(4,0)$ i $B=(2,2)$ daje $(t-4)^2+t^2=(t-2)^2+(t+2)^2,$ stąd $t=1$. Zatem $S=(1,-1)$, a

Po uzupełnieniu kwadratów równanie okręgu ma postać $(x+3)^2+(y-1)^2=4,$ więc promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $R=2$. Dla trójkąta równobocznego $R=\frac{a}{\sqrt3}$, stąd $a=2\sqrt3$, a obwód $L=6\sqrt3\approx10{,}392304.$ Trzy pierwsze cyfry po przecinku to $3,9,2$.

Okrąg ma środek $S=(-1,2)$ i promień $5\sqrt2$. Prosta $y=3x-15$ przecina go w punktach $(4,-3)$ i $(6,3)$, które są końcami jednego ramienia trapezu.

Dłuższa podstawa jest średnicą przechodzącą przez jeden z tych punktów. Dla średnicy przez $(4,-3)$ jej prosta ma równanie $x+y-1=0$. Druga podstawa przechodzi przez $(6,3)$ i jest do niej równoległa. Wysokość jest więc odległością punktu $(6,3)$ od prostej średnicy: $h=\frac{|6+3-1|}{\sqrt2}=4\sqrt2.$ Wybór drugiego końca ramienia jako końca średnicy daje tę samą wysokość.

Środek ciężkości ma współrzędne

Po uzupełnieniu kwadratów dostajemy $(x-m)^2+(y-1)^2=68.$ Okrąg ma środek $(m,1)$ i promień $2\sqrt{17}$. Prosta ma równanie $4x+y-3=0$, zatem jej odległość od środka wynosi $d=\frac{|4m-2|}{\sqrt{17}}.$ Dwa punkty wspólne występują dokładnie wtedy, gdy $d<2\sqrt{17}$: $|4m-2|<34,$ co daje $-8<m<9$.

Okrąg ma środek $(1,2)$ i promień $2\sqrt5$. Dłuższa podstawa leży na $x-y=1$. Prosta drugiej podstawy ma postać $x-y=c$. Warunek wysokości daje $\frac{|c-1|}{\sqrt2}=4\sqrt2,$ czyli $c=9$ lub $c=-7$. Prosta z $c=9$ nie przecina okręgu, więc druga podstawa leży na $x-y=-7$.

Przecięcie okręgu z $y=x-1$ daje $(-1,-2)$ i $(5,4)$, a przecięcie z $y=x+7$ daje $(-1,6)$ i $(-3,4)$.

Z $\overrightarrow{AB}=[12,6]$ i $B=(10,5)$ wynika $A=B-\overrightarrow{AB}=(-2,-1).$ Krótsza podstawa jest równoległa do $AB$ i trzy razy krótsza, więc $\overrightarrow{DC}=\frac13\overrightarrow{AB}=[4,2]$. Stąd $C=D+[4,2]=(5,7)$.

Środki ramion $AD$ i $BC$ to odpowiednio $M=(-\frac12,2)$ i $N=(\frac{15}{2},6)$. Zatem $\overrightarrow{MN}=N-M=[8,4].$

Mamy $\overrightarrow{AB}=[2,4]$ oraz $\overrightarrow{AC}=[m,m^2+4]$. Pole jest równe