MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 143

Środki odcinków to $S_{AB}=\left(\frac{-5-3}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(-4,3),$ $S_{CD}=\left(\frac{5+11}{2},\frac{-1-3}{2}\right)=(8,-2).$ Ich odległość wynosi $\sqrt{(8+4)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{144+25}=13.$

Prosta $y=\frac34x-1$ ma równanie $3x-4y-4=0$. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:

Promień jest odległością środka $S=(4,1)$ od prostej $y=-2$, zatem $r=|1-(-2)|=3$.

Okrąg $K$ ma środek $(4,-3)$ i promień $2$. Odbicie względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej środka, więc środek obrazu to $(4,3)$, a promień nadal wynosi $2$. Odległość środków jest równa $|3-(-3)|=6$.

Wektory kolejnych boków mają postać

Punkt $S$ jest środkiem obu przekątnych, więc $C=2S-A=(-4,4),\qquad D=2S-B=(-1,0).$ Bok $CD$ ma wektor kierunkowy $[3,-4]$ i środek $M=(-\frac52,2)$. Symetralna jest do niego prostopadła, zatem ma nachylenie $\frac34$: $y-2=\frac34\left(x+\frac52\right).$

Pierwszy okrąg ma środek $S_1=(4,3)$ i promień $r_1=\sqrt5$. Drugi ma środek $S_2=(1,-3)$ i promień $r_2=\sqrt{20}=2\sqrt5$. Odległość środków wynosi $|S_1S_2|=\sqrt{(4-1)^2+(3+3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.$ Ponieważ $|S_1S_2|=r_1+r_2$, okręgi są styczne zewnętrznie.

Okrąg ma środek $O=(2,1)$ i promień $5$. W trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg przeciwprostokątna $AB$ jest średnicą. Warunek $CA=CB$ oznacza, że średnica $AB$ jest prostopadła do $OC$.

Mamy $\overrightarrow{OC}=[-3,-4]$. Prostopadły do niego wektor długości $5$ to $[4,-3]$. Końce średnicy są więc równe $O\pm[4,-3].$

Okrąg $K$ ma środek $(-3,1)$ i promień $\sqrt{160/9}=\frac{4\sqrt{10}}3$. Symetria względem początku przenosi środek na $(3,-1)$, więc $K':(x-3)^2+(y+1)^2=\frac{160}{9}.$

Prosta środków ma kierunek $[3,-1]$ i równanie $x+3y=0$. Jej wektor jednostkowy to $\frac1{\sqrt{10}}[3,-1]$. Punkty przecięcia z $K'$ mają zatem postać $(3,-1)\pm\frac{4\sqrt{10}}3\frac1{\sqrt{10}}[3,-1].$