MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 142

Długości sąsiednich boków wynoszą $|AB|=4,\qquad |BC|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2.$ Obwód równoległoboku jest więc równy $2|AB|+2|BC|=8+8\sqrt2\approx19{,}31.$ Liczba ta należy do przedziału $(19;22)$.

Dla promieni $3$ i $2$ okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy odległość środków jest równa $3+2=5$ albo $3-2=1$. W kolejnych odpowiedziach odległości środków wynoszą: $3\sqrt2,\quad \sqrt2,\quad 5,\quad \sqrt5.$ Warunek spełnia tylko para z odpowiedzi C.

Prosta przecina okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy jej odległość od środka $S=(-1,2)$ jest mniejsza od $\sqrt{10}$.

Dla odpowiedzi B prosta przez $(-2,-5)$ i $(2,2)$ ma równanie $7x-4y-6=0$. Jej odległość od $S$ wynosi $\frac{|-7-8-6|}{\sqrt{65}}=\frac{21}{\sqrt{65}}<\sqrt{10}.$ Dla A odległość jest większa od promienia, a dla C i D równa promieniowi.

W równoległoboku o kolejnych wierzchołkach zachodzi $A+C=B+D$. Zatem $D=A+C-B=(-3,7)+(13,5)-(17,-3)=(-7,15).$

Środek rombu jest środkiem przekątnej $AC$: $S=\left(\frac{-4+14}{2},\frac{-4+2}{2}\right)=(5,-1).$ Bok $AB$ leży na prostej $y=-4$, więc promień okręgu wpisanego jest równy odległości $S$ od tej prostej, czyli $3$. Okrąg ma równanie $(x-5)^2+(y+1)^2=9,$ czyli $x^2+y^2-10x+2y+17=0$.

Okrąg wyjściowy zapisujemy jako $(x+3)^2+(y-1)^2=4.$ Jego środek $(-3,1)$ przesuwamy o wektor $[5,-4]$, otrzymując $(2,-3)$. Promień nie zmienia się, więc obraz ma równanie $(x-2)^2+(y+3)^2=4,$ czyli $x^2+y^2-4x+6y+9=0$.

Jeżeli żaba wykona $k$ skoków o wektor $\vec u$ i $3-k$ skoków o wektor $\vec v$, to znajdzie się w punkcie $P+3\vec v+k(\vec u-\vec v)=(-5,3)+k[4,-1].$ Wszystkie cztery możliwości leżą więc na prostej o kierunku $[4,-1]$, przechodzącej przez $(-5,3)$: $y-3=-\frac14(x+5),\qquad y=-\frac14x+\frac74.$