MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 140

Środek okręgu stycznego do obu prostych równoległych leży na prostej położonej dokładnie między nimi, a promień jest połową ich odległości.

a) Prosta środkowa ma równanie $y=x+4$. Jej przecięcie z $y=-x$ to $S=(-2,2)$. Odległość danych prostych wynosi $2\sqrt2$, więc $r=\sqrt2$.

b) Prosta środkowa ma równanie $y=\frac12x-3$. Przecina $y=-x$ w $S=(2,-2)$. Odległość prostych wynosi $4\sqrt5$, więc $r=2\sqrt5$.

a) Przecięcie prostej $y=x-7$ z okręgiem daje końce podstawy $U=(2,-5)$ i $V=(8,1)$. Trzeci wierzchołek leży na prostopadłej dwusiecznej $UV$, przechodzącej przez środek okręgu. Jej przecięcia z okręgiem to $(-4,7)$ i $(6,-3)$.

b) Prosta $y=\frac12x+4$ przecina okrąg w punktach $U=(-6,1)$ i $V=(6,7)$. Są to końce jednego ramienia. Przecinając okrąg z okręgiem o środku $U$ lub $V$ i promieniu $|UV|$, otrzymujemy dwa możliwe trzecie wierzchołki: $(\frac{36}{5},-\frac75)$ i $(0,-5)$.

Punkt $A$ jest przecięciem prostych zawierających $AB$ i $AC$, więc $A=(3,-1)$. Niech $B=(t,2-t)$, ponieważ $B$ leży na $x+y-2=0$. Punkt $S=(0,-2)$ jest środkiem $BC$, zatem $C=2S-B=(-t,t-6).$ Warunek $C\in AC$, czyli $3x_C-5y_C-14=0$, daje $t=2$. Stąd $B=(2,0)$ i $C=(-2,-4)$.

Z symetralnych boków otrzymujemy środek okręgu $O=(\frac12,-\frac52)$ i $r^2=\frac{17}{2}$.

Odejmujemy stronami równania okręgów. Wyrazy kwadratowe i stałe redukują się, a prosta wspólnej cięciwy ma równanie $2x-2y=0,\qquad x-y=0.$ Odległość $P=(0,-3)$ od tej prostej wynosi

Po uzupełnieniu kwadratów otrzymujemy $(x+6)^2+y^2=4,\qquad (x-2)^2+(y-2)^2=4.$ Okręgi mają ten sam promień, a ich środki to $S_1=(-6,0)$ i $S_2=(2,2)$. Symetria środkowa względem środka odcinka $S_1S_2$ przekształca $S_1$ w $S_2$ i zachowuje promień. Tym środkiem jest $P=\left(\frac{-6+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(-2,1).$

Okrąg wyjściowy ma środek $S=(-3,2)$ i promień $4$. Odbijamy środek względem podanej osi lub prostej; promień pozostaje bez zmian.

a) Względem $OX$: $S'=(-3,-2)$.

b) Względem $OY$: $S'=(3,2)$.

c) Odbicie punktu $(-3,2)$ względem $x-y-3=0$ daje $S'=(5,-6)$.

d) Odbicie względem $2x+y-6=0$ daje $S'=(5,6)$.

a) Okrąg ma środek $S=(-2,-1)$ i promień $2\sqrt{10}$. Styczne prostopadłe do prostej o nachyleniu $3$ mają postać $y=-\frac13x+b$. Ich odległość od $S$ ma być równa promieniowi: $\frac{|-2+3(-1)-3b|}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}.$ Stąd $|-5-3b|=20$.

b) Mamy $|AS|=5$ i $r=\sqrt5$. Prosta łącząca punkty styczności jest cięciwą, której odległość od $S$ wynosi $\frac{r^2}{|AS|}=1$. Połowa jej długości ma więc wartość $\sqrt{r^2-1^2}=2$.

Po uzupełnieniu kwadratu mamy $(x-m)^2+y^2=m^2-3m.$ Środek to $(m,0)$, a promień ma kwadrat $m^2-3m$. Warunek styczności do $x=2$ ma postać $|m-2|=\sqrt{m^2-3m}.$ Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $m=4$; dla tej wartości promień jest dodatni, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Przesuwamy każdy wierzchołek o wektor $[-4,1]$ i wyznaczamy część wspólną z nierówności opisujących boki obu trójkątów.

a) Część wspólna jest trójkątem o wierzchołkach $(-3,1)$, $(0,1)$ i $(-\frac32,\frac52)$. Jego podstawa ma długość $3$, a wysokość $\frac32$, więc $P=\frac12\cdot3\cdot\frac32=\frac94.$

b) Część wspólna także jest trójkątem. Jego pozioma podstawa ma długość $2-\frac1{\sqrt3}$, a wysokość $\sqrt3-\frac12$. Zatem

a) Ponieważ $P$ jest środkiem $AB$, $B=2P-A=(2,-2).$ Z warunku $\overrightarrow{CB}=[1,-8]$ otrzymujemy $C=(1,6)$. Prosta przez $A=(-4,1)$ i $C=(1,6)$ ma nachylenie $1$.

b) Z $\overrightarrow{AP}=[4,2]$ mamy $A=(-3,1)$. Ponadto $Q=P+\overrightarrow{PQ}=(-2,4)$. Ponieważ $Q$ jest środkiem $AC$, otrzymujemy $C=2Q-A=(-1,7)$. Prosta $AC$ ma nachylenie $3$.