MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 139

Szukany punkt jest środkiem okręgu opisanego, więc leży na dwóch symetralnych boków.

a) Symetralna pionowego odcinka $BC$ ma równanie $y=2$. Porównanie odległości od $A$ i $B$ daje wtedy $x=6$. Promień spełnia $r^2=6^2+2^2=40$.

b) Symetralna poziomego odcinka $AB$ ma równanie $x=2$. Porównanie odległości od $A$ i $C$ daje $y=1$, a $r^2=25$.

Prosta $y=-x+2$ ma równanie $x+y-2=0$. Warunek odległości punktu $P=(x,y)$ od tej prostej daje

Promień okręgu jest odległością środka $P$ od podanej prostej. Prosta zawierająca przeciwległy bok jest równoległa do $k$ i leży po drugiej stronie $P$ w tej samej odległości. Dwa pozostałe boki są prostopadłe do $k$ i także oddalone od $P$ o ten promień.

a) Dla $k:3x-y-3=0$ promień wynosi $\sqrt{10}$. Warunki odległości dają prostą równoległą $y=3x+17$ oraz dwie prostopadłe $y=-\frac13x+\frac{11}{3}$ i $y=-\frac13x-3$.

b) Dla $k:3x+4y-40=0$ promień wynosi $\frac{27}{5}$. Pozostałe proste otrzymujemy analogicznie.

Odległość początku układu od prostej $x+y-b=0$ jest równa $\frac{|b|}{\sqrt2}$. Ponieważ $b_1,b_2>0$, otrzymujemy $b_1=2\sqrt2,\qquad b_2=6\sqrt2.$ Odległość prostych równoległych wynosi $\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt2}=4.$

Pole liczymy ze wzoru $P=\frac12|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$.

a) Wyznacznik jest równy $8m$, więc $P=4|m|$. Warunek $P=24$ daje $|m|=6$.

b) Wyznacznik jest równy $96-24m$, zatem $P=12|4-m|$. Warunek $P=24$ daje $|4-m|=2$.

Promień okręgu stycznego do prostej jest odległością jego środka od tej prostej.

a) $r_1=|-1-1|=2$, $r_2=|1-3|=2$, a $|K_1K_2|=2$. Ponieważ $|r_1-r_2|<2<r_1+r_2$, okręgi przecinają się w dwóch punktach.

b) $r_1=|-3+2|=1$, $r_2=|-4+6|=2$, a $|K_1K_2|=1$. Równość $|K_1K_2|=|r_2-r_1|$ oznacza styczność wewnętrzną.

Po uzupełnieniu kwadratów prawa strona równania okręgu musi być dodatnia.

a) $(x-2)^2+(y+1)^2=m^2-4.$ Równanie nie opisuje okręgu, gdy $m^2-4\leq0$.

b) $(x-m)^2+(y+2)^2=2m^2+m-3.$ Ponieważ $2m^2+m-3=(2m+3)(m-1)$, prawa strona jest niedodatnia między pierwiastkami włącznie.

a) Środki okręgów to $(-1,-1)$ i $(2,3)$, ich odległość wynosi $5$, a promienie to $|m|$ i $2|m|$. Styczność zewnętrzna daje $3|m|=5.$

b) Środki to $(-3,2)$ i $(1,2)$, więc ich odległość wynosi $4$. Promienie mają długości $|m|$ oraz $|m+1|$. Rozwiązujemy $|m|+|m+1|=4,$ rozpatrując przedziały wyznaczone przez $-1$ i $0$.

a) Pierwszy okrąg ma środek $(2,1)$ i promień $2$, drugi środek $(-3,1)$ i promień $\sqrt m$. Odległość środków wynosi $5$. Jeden punkt wspólny występuje dla $\sqrt m+2=5$ albo $|\sqrt m-2|=5$, zatem $\sqrt m=3$ lub $7$.

b) Środki to $(2,-1)$ i $(-1,3)$, promienie $1$ i $\frac{\sqrt m}{2}$, a odległość środków wynosi $5$. Warunki styczności dają $\frac{\sqrt m}{2}=4$ lub $6$.