MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 14 — rozwiązania zadań

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy wartości dla wielokrotności $45^\circ$ : a) $1/2+1/2=1$ ; b) $-1-1=-2$ ; c) $-\sqrt2/2+(\sqrt2/2)^3=-\sqrt2/4$ .

Odpowiedź

a) $1$ . b) $-2$ . c) $-\frac{\sqrt2}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Skan potwierdza numerację $P_k$ od kąta $0^\circ$ co $30^\circ$ . Współrzędne to $(\cos30^\circ k,\sin30^\circ k)$ , a pozostałe wartości otrzymujemy przez ilorazy współrzędnych.

Odpowiedź

a) $P_4=(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ , $P_5=(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ , $P_6=(-1,0)$ , $P_7=(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ , $P_8=(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2})$ , $P_9=(0,-1)$ , $P_{10}=(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2})$ , $P_{11}=(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ .

b) Dla $30^\circ,60^\circ,120^\circ,150^\circ,210^\circ,240^\circ,300^\circ,330^\circ$ :

$\sin$ : $\frac12,\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac12,-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12$ ;
$\cos$ : $\frac{\sqrt3}{2},\frac12,-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12,\frac12,\frac{\sqrt3}{2}$ ;
$\tg$ : $\frac{\sqrt3}{3},\sqrt3,-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3},\sqrt3,-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{3}$ ;
$\ctg$ : $\sqrt3,\frac{\sqrt3}{3},-\frac{\sqrt3}{3},-\sqrt3,\sqrt3,\frac{\sqrt3}{3},-\frac{\sqrt3}{3},-\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy wartości z okręgu jednostkowego.

a) $3/4+3/4=3/2$ .

b) $(-1/2)/(1/4)+(-\sqrt3/3)/(\sqrt3/3)=-2-1=-3$ .

c) $\sqrt3/2+(-\sqrt3)(-\sqrt3/3)=1+\sqrt3/2$ .

d) Mianownik to $1/4+3/4=1$ , a licznik $\frac34\cdot\frac{\sqrt3}{3}\cdot(-1)=-\frac{\sqrt3}{4}$ .

Odpowiedź

a) $\frac32$ . b) $-3$ . c) $1+\frac{\sqrt3}{2}$ . d) $-\frac{\sqrt3}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy znaki funkcji w ćwiartkach. W podpunkcie d iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha>0$ oznacza jednakowe znaki; przy $\cos\alpha<0$ także sinus jest ujemny.

Odpowiedź

a) II. b) IV. c) III. d) III ćwiartka.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczmy $S=(\sqrt6-\sqrt2)/4=\sin15^\circ$ i $C=(\sqrt6+\sqrt2)/4=\cos15^\circ$ . Korzystamy z kątów $180^\circ\mp15^\circ$ , $360^\circ-15^\circ$ i $90^\circ-15^\circ$ .

Odpowiedź

a) $\sin165^\circ=S$ , $\cos165^\circ=-C$ . b) $\sin195^\circ=-S$ , $\cos195^\circ=-C$ . c) $\sin345^\circ=-S$ , $\cos345^\circ=C$ . d) $\sin75^\circ=C$ , $\cos75^\circ=S$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Skan pokazuje, że $OP=1$ jest apotemą ośmiokąta, a $A$ jest końcem boku zawierającego $P$ . Połowa kąta środkowego ma $22{,}5^\circ$ . Z trójkąta prostokątnego $OPA$ : $PA=\tg22{,}5^\circ=\sqrt2-1,$ więc bok ma długość $2(\sqrt2-1)$ . Kąt $POA=22{,}5^\circ$ , natomiast $POC=112{,}5^\circ=90^\circ+22{,}5^\circ$ . Korzystamy ze wzorów połowy kąta.

Odpowiedź

a) Bok ma długość $2(\sqrt2-1)$ .

b) Dla $\angle POA$ :

\cos=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2,\quad \tg=\sqrt2-1,\quad \ctg=\sqrt2+1.$$ Dla $\angle POC$: $$\sin=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2,\quad \cos=-\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2,\quad \tg=-(\sqrt2+1),\quad \ctg=1-\sqrt2.$$

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem