Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „\*1.1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla każdego punktu liczymy $r=\sqrt{x^2+y^2}$ i podstawiamy do wzorów $\sin=y/r$ , $\cos=x/r$ , $\tg=y/x$ , $\ctg=x/y$ .

Odpowiedź

a) $(\frac{12}{13},\frac5{13},\frac{12}5,\frac5{12})$ . b) $(-\frac{12}{13},-\frac5{13},\frac{12}5,\frac5{12})$ . c) $(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt3}{3},-\sqrt3)$ . d) $(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{3},\sqrt3)$ .

Kolejność: $(\sin\alpha,\cos\alpha,\tg\alpha,\ctg\alpha)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na okręgu jednostkowym promień $OP$ ma długość $r=1$ . Z definicji dla $P=(x,y)$ mamy $\cos\alpha=\frac{x}{r}=x,\quad \sin\alpha=\frac{y}{r}=y.$

Odpowiedź

$x=\cos\alpha$ oraz $y=\sin\alpha$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Skan potwierdza, że $P_0=(1,0)$ , a kolejne punkty są rozmieszczone co $45^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Stąd $\alpha_i=45^\circ i$ . Wartości w tabeli są współrzędnymi punktów okręgu; $\tg=\sin/\cos$ , $\ctg=\cos/\sin$ .

Odpowiedź

a) $(\alpha_0,\ldots,\alpha_7)=(0^\circ,45^\circ,90^\circ, 135^\circ,180^\circ,225^\circ,270^\circ,315^\circ)$ .

b) Dla kątów $0^\circ,45^\circ,\ldots,360^\circ$ :

$\sin$ : $0,\frac{\sqrt2}{2},1,\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2},-1,-\frac{\sqrt2}{2},0$ ;
$\cos$ : $1,\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2},-1,-\frac{\sqrt2}{2},0,\frac{\sqrt2}{2},1$ ;
$\tg$ : $0,1,$ nie istnieje, $-1,0,1,$ nie istnieje, $-1,0$ ;
$\ctg$ : nie istnieje, $1,0,-1,$ nie istnieje, $1,0,-1,$ nie istnieje.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla punktu $(x,y)$ na ramieniu kąta znaki $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ są znakami odpowiednio $y$ i $x$ . Znak $\tg\alpha=y/x$ , a $\ctg\alpha=x/y$ . Odczyt znaków w czterech ćwiartkach daje dokładnie podane przedziały; na osiach wykluczamy miejsca, w których mianownik jest zerem.

Odpowiedź

a) W I i II ćwiartce $y>0$ . b) W I i IV $x>0$ . c–d) Iloraz współrzędnych jest dodatni w I i III ćwiartce.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu