MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 133

Punktem symetrycznym do $A=(x,y)$ jest $A'=(-x,-y)$, zatem $|AA'|=\sqrt{(-2x)^2+(-2y)^2}=2\sqrt{x^2+y^2}.$

Zmieniamy znaki obu współrzędnych każdego wierzchołka.

Ze skanu odczytujemy $A=(-4,-2)$, $B=(4,-2)$, $C=(7,3)$ i $D=(-1,3)$, a środek symetrii to $O=(0,0)$. Obraz ma wierzchołki przeciwne do tych punktów.

Dla wysokości $y\in[-2,2]$ poziomy przekrój pierwszego równoległoboku zaczyna się w $x=\frac{3y-14}{5}$, a przekrój obrazu kończy się w $x=\frac{3y+14}{5}$. Szerokość części wspólnej jest więc stała: $\frac{3y+14}{5}-\frac{3y-14}{5}=\frac{28}{5}.$ Wspólny zakres rzędnych ma długość $4$, stąd $P=4\cdot\frac{28}{5}=\frac{112}{5}=22{,}4.$

Odbicie względem osi $OX$ przekształca punkt $(x,y)$ w $(x,-y)$. Następne odbicie względem osi $OY$ daje $(-x,-y).$ Jest to dokładnie obraz punktu $(x,y)$ w symetrii względem początku układu. Oba przekształcenia zachowują promień okręgu, więc wniosek dotyczy całego okręgu.

Środki okręgu i jego obrazu są punktami przeciwnymi. Odejmując ich równania, wyznaczamy prostą wspólnej cięciwy, a następnie podstawiamy ją do jednego z równań.

a) Oś potęg ma równanie $y=x$. b) Oś potęg ma równanie $y=4x$. c) Oś potęg ma równanie $y=-2x$. d) Oś potęg ma równanie $y=\frac23x$.

Symetria względem początku wysyła środek $(a,b)$ na $(-a,-b)$ i zachowuje promień. W równaniu ogólnym odpowiada to podstawieniu $x\mapsto-x$, $y\mapsto-y$, czyli zmianie znaków współczynników liniowych.

Dwa koła mają ten sam promień $r$, a ich środki są przeciwne. Pole soczewki liczymy jako dwa wycinki kołowe pomniejszone o dwa trójkąty.

a) $r=4$, odległość środków $d=4\sqrt2$, kąt wycinka $90^\circ$. b) $r=4$, $d=4$, kąt wycinka $120^\circ$. c) $r=6$, $d=6\sqrt3$, kąt wycinka $60^\circ$. d) $r=6\sqrt2$, $d=6\sqrt6$, kąt wycinka $60^\circ$.

Środki okręgów to $S=(-2,4)$ i $S'=(2,-4)$, więc ich odległość wynosi $4\sqrt5$. Przy styczności zewnętrznej $2r=4\sqrt5$, zatem $r=2\sqrt5$.

Prosta środków ma równanie $y=-2x$. Wspólna styczna w punkcie styczności $O=(0,0)$ jest do niej prostopadła, więc ma równanie $y=\frac12x$. Dwie pozostałe styczne są równoległe do prostej środków: $y=-2x+b$. Ich odległość od środka ma wynosić $2\sqrt5$, skąd $|b|=10$.