MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 126 — rozwiązania zadań

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) W pierwszym ustawieniu $AP:PB=2:3$ , więc $P=A+\frac25\overrightarrow{AB}=(0,1).$ Po zamianie części odcinka miejscami $P=A+\frac35\overrightarrow{AB}=(2,-2).$

b) Dla $AP:PB=3:4$ wzór $P=\frac{4A+3B}{7}$ daje $A=(12,-\frac{31}{2})$ . Po zamianie części, z $P=\frac{3A+4B}{7}$ otrzymujemy $A=(19,-26)$ .

Odpowiedź

a) $P(0,1)$ lub $P(2,-2)$ ; b) $A(12,-\frac{31}{2})$ lub $A(19,-26)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Punkt $P$ jest środkiem obu przekątnych, więc $C=2P-A=(6,3),\qquad D=2P-B=(0,1).$

b) W równoległoboku $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}=[-2,4]$ . Ponieważ $P$ jest środkiem $AB$ , mamy

B=P+\frac12\overrightarrow{AB}=(2,3).$$ Punkt $S$ jest środkiem przekątnych, zatem $C=2S-A=(-6,3)$ i $D=2S-B=(-4,-1)$.

Odpowiedź

a) $C(6,3)$ , $D(0,1)$ ; b) $A(4,-1)$ , $B(2,3)$ , $C(-6,3)$ , $D(-4,-1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z danych otrzymujemy

B=C-\overrightarrow{BC}=(-2,-3).$$ Bok $BC$ ma nachylenie $1$, więc wysokość z $A$ ma nachylenie $-1$: $y=-x-2$. Bok $AC$ ma nachylenie $\frac14$, zatem wysokość z $B$ ma nachylenie $-4$: $y=-4x-11$. Bok $AB$ ma nachylenie $-2$, więc wysokość z $C$ ma nachylenie $\frac12$: $y=\frac12x+\frac52$.

Odpowiedź

$y=-x-2$ , $y=-4x-11$ , $y=\frac12x+\frac52$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Ze wzoru na środek odcinka $B=2S-C=(3,1).$ Ponieważ $\overrightarrow{AB}=[6,3]$ , mamy $A=B-\overrightarrow{AB}=(-3,-2)$ .

b) Punkt $D=C+\overrightarrow{CD}=(12,13)$ jest środkiem podstawy $AB$ . Połowa wektora $\overrightarrow{AB}$ to $[2,-2]$ , zatem $A=D-[2,-2]=(10,15),\qquad B=D+[2,-2]=(14,11).$

Odpowiedź

a) $A(-3,-2)$ , $B(3,1)$ ; b) $A(10,15)$ , $B(14,11)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mamy $\overrightarrow{AB}=[4,6]$ . W trapezie zapisanym kolejno $A,B,C,D$ wektor $\overrightarrow{DC}$ ma ten sam kierunek i zwrot. Ponieważ $|AB|=2|CD|$ , $\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AB}=[2,3].$ Stąd $C=D+[2,3]=(-1,2)$ .

Odpowiedź

$C(-1,2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli je w stosunku długości podstaw. Ponieważ $|AB|:|CD|=3:1$ , na przekątnej $AC$ zachodzi $AO:OC=3:1$ . Zatem

=(-2,2)+\frac34[5,2]=\left(\frac74,\frac72\right).$$ b) $D=A+\overrightarrow{AD}=(2,5)$ i $B=D+\overrightarrow{DB}=(7,5)$. Ponieważ $\overrightarrow{AB}=[6,3]$ oraz $|AB|=3|CD|$, mamy $\overrightarrow{DC}=\frac13\overrightarrow{AB}=[2,1]$, skąd $C=(4,6)$.

Odpowiedź

a) $\left(\frac74,\frac72\right)$ ; b) $B(7,5)$ , $C(4,6)$ , $D(2,5)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Niech $M$ będzie środkiem boku $BC$ . Środek ciężkości $G$ dzieli środkową $AM$ w stosunku $2:1$ , licząc od wierzchołka, więc

=\frac13A+\frac23\cdot\frac{B+C}{2} =\frac{A+B+C}{3}.$$ Porównanie współrzędnych daje podane wzory na $x$ i $y$. b) Z zależności $A+B+C=3G$ otrzymujemy $$C=3(-1,2)-(-1,0)-(2,5)=(-4,1).$$ Ponadto $\overrightarrow{AB}=[3,5]$ i $\overrightarrow{AC}=[-3,1]$, zatem $$P=\frac12|3\cdot1-5(-3)|=9.$$

Odpowiedź

a) $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ ; b) $C(-4,1)$ , pole trójkąta $9$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dwie podane środkowe przecinają się w środku ciężkości $G=(1,2)$ . Dany wierzchołek $A=(1,-2)$ nie leży na żadnej z nich, więc pozostałe wierzchołki leżą po jednym na każdej prostej. Ponieważ $A+B+C=3G$ , mamy $B+C=(2,8)$ .

Niech $B=(b,2)$ oraz $C=(c,3-c)$ . Z sumy drugich współrzędnych: $2+3-c=8$ , więc $c=-3$ . Z sumy pierwszych współrzędnych $b+c=2$ , zatem $b=5$ .

Odpowiedź

Pozostałe wierzchołki to $(-3,6)$ i $(5,2)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem