MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 125

Ze wzoru na współrzędne punktu $S$ mamy

=\left[\frac{x_2-x_1}{2},\frac{y_2-y_1}{2}\right] =\frac12\overrightarrow{AB}.$$ Podobnie $$\overrightarrow{SB} =\left[x_2-\frac{x_1+x_2}{2},y_2-\frac{y_1+y_2}{2}\right] =\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Punkty dzielące odcinek na trzy części mają postać $P=A+\frac13\overrightarrow{AB}$ oraz $Q=A+\frac23\overrightarrow{AB}$.

a) $\frac13\overrightarrow{AB}=[2,1]$. b) $\frac13\overrightarrow{AB}=[6,-4]$. c) $\frac13\overrightarrow{AB}=[\frac13,\frac23]$.

a) Kolejny krok ma wektor $\vec d=\overrightarrow{PQ}=[3,3]$. Zatem $A=P-\vec d=(-1,-2)$ i $B=Q+\vec d=(8,7)$.

b) Kolejny krok ma wektor $\vec d=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}=[-1,3]$. Stąd $A=P-\vec d=(5,-5)$ i $B=R+\vec d=(1,7)$.

a) $\overrightarrow{PQ}=[-4,5]$, natomiast $\overrightarrow{PR}=[8,-10]=-2\overrightarrow{PQ}$.

b) $\overrightarrow{PQ}=[18,6]$, natomiast $\overrightarrow{PR}=[24,8]=\frac43\overrightarrow{PQ}$. W obu przypadkach odpowiednie wektory są równoległe.

Korzystamy z tego, że $P,Q,R$ są środkami kolejnych boków oraz że w równoległoboku $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

a) $A=2P-B=(7,-1)$, $C=2Q-B=(-5,1)$ i $D=A+C-B=(-1,-3)$.

b) Z równań $A+B=2P$, $B+C=2Q$, $C+D=2R$ i $A+C=B+D$ otrzymujemy kolejno $A=(-2,-2)$, $B=(6,2)$, $C=(8,6)$, $D=(0,2)$.

c) $B=Q-\frac12\overrightarrow{BC}=(2,-3)$, następnie $A=B+\overrightarrow{BA}=(-3,2)$, $C=(4,1)$ i $D=(-1,6)$.

d) Ponieważ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, mamy $C=R+\frac12\overrightarrow{AB}=(10,5)$. Dalej $B=2Q-C=(4,-1)$, $A=B-\overrightarrow{AB}=(-4,-3)$ i $D=(2,3)$.