MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 124

Oznaczmy przez $\vec a=\overrightarrow{AB}$ i $\vec b=\overrightarrow{AD}$ wektory boków rombu. Każdy jego punkt ma postać $A+s\vec a+t\vec b$, gdzie $0\le s,t\le1$.

a) Przesunięcie o $\frac12\vec a$ zostawia wspólny zakres współczynnika $s$ długości $\frac12$, a cały zakres $t$. Część wspólna ma więc połowę pola rombu, czyli $2$.

b) Ponieważ $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$, przesunięcie o połowę przekątnej skraca wspólny zakres obu współczynników do $\frac12$. Pole części wspólnej stanowi $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ pola rombu.

Przyjmijmy jako bazę wektory boków $\vec a=\overrightarrow{AB}=[4,-2]$ i $\vec b=\overrightarrow{AD}=[3,6]$. Pole prostokąta wynosi $|\vec a||\vec b|=30$. Jeśli $\vec v=\alpha\vec a+\beta\vec b$, to pole części wspólnej jest równe $30(1-|\alpha|)(1-|\beta|).$

a) $[1,2]=\frac13\vec b$, więc pole wynosi $30\cdot1\cdot\frac23=20$. b) $[0,-5]=\frac12\vec a-\frac23\vec b$, więc pole wynosi $30\cdot\frac12\cdot\frac13=5$. c) $[4,2]=\frac35\vec a+\frac8{15}\vec b$, więc pole wynosi $30\cdot\frac25\cdot\frac7{15}=\frac{28}{5}$.

Środki kół są oddalone o $d=|[4,4]|=4\sqrt2$, a oba promienie wynoszą $r=4$. Pole ich części wspólnej jest sumą dwóch wycinków o kącie $90^\circ$ pomniejszoną o pola dwóch trójkątów prostokątnych:

-2\cdot\frac12\left(\frac{d}{2}\right)^2 =8\pi-16.$$

Niech $P$ i $Q$ będą środkami odpowiednio ramion $AD$ i $BC$. Wtedy

=\frac12\big((B-A)+(C-D)\big) =\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$$ Wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$ mają ten sam kierunek i zwrot, więc ich suma również ma kierunek podstaw trapezu. Ponadto $$|PQ|=\frac12\left(|AB|+|DC|\right).$$