MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 123

Niech $\alpha$ i $\beta$ będą kątami, które wektory tworzą z dodatnią półosią $OX$. Wtedy $u_x=|\vec u|\cos\alpha,\quad u_y=|\vec u|\sin\alpha,$ $v_x=|\vec v|\cos\beta,\quad v_y=|\vec v|\sin\beta.$ Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy kątów, otrzymujemy

=|\vec u||\vec v|(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) =|\vec u||\vec v|\cos(\alpha-\beta).$$ Ostatnie wyrażenie jest definicją iloczynu skalarnego.

Korzystamy ze wzoru $\cos\alpha=\frac{\vec u\circ\vec v}{|\vec u||\vec v|}.$

a) Iloczyn skalarny wynosi $20$, a iloczyn długości $20\sqrt2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$. b) Iloczyn skalarny wynosi $3(-3)+9\cdot1=0$. c) Długości wynoszą $2$ i $4$, a iloczyn skalarny $-4\sqrt3$, więc $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$. d) $(1-\sqrt5)(1+\sqrt5)+4=0$.