MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 122

Sprawdzamy proporcjonalność współrzędnych. W a) zachodzi $\vec v=-\frac14\vec u$, w b) $\vec v=\frac16\vec u$, a w d) $\vec v=(1+\sqrt2)\vec u$. W c) ilorazy współrzędnych są różne.

Wektory mają ten sam kierunek, gdy ich wyznacznik jest równy zeru.

a) $(m+1)\cdot1-2\cdot3=0$, więc $m=5$. b) $6\cdot1-3(m^2+1)=0$, więc $m^2=1$. c) $12m\cdot1-3m^3=3m(4-m^2)=0$.

Dla $\vec u=[x,y]$ mamy $\alpha\vec u=[\alpha x,\alpha y]$. Zatem

Wektor $\vec u=[-3,4]$ ma długość $5$. Szukany wektor ma ten sam zwrot, więc $\vec v=k\vec u$ dla $k>0$.

a) $5k=20$, stąd $k=4$. b) $5k=8$, stąd $k=\frac85$.

Mamy $|\vec u|=\sqrt{10}$ oraz $\vec v=k\vec u$ dla $k<0$.

a) $|k|\sqrt{10}=20$, więc $k=-2\sqrt{10}$. b) $|k|\sqrt{10}=3$, więc $k=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Niech $\vec v=\left[\frac{x}{|\vec u|},\frac{y}{|\vec u|}\right].$ Ponieważ $\vec u\ne\vec0$, mianownik jest dodatni. Liczymy

Dzielimy wektor przez jego długość i uwzględniamy oba możliwe zwroty.

a) $|[-8,6]|=10$, więc otrzymujemy $[-\frac45,\frac35]$ i wektor przeciwny. b) $|[1,1]|=\sqrt2$, więc otrzymujemy $[\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}]$ i wektor przeciwny.

Porównujemy odpowiednie współrzędne obu stron i rozwiązujemy powstały układ dwóch równań liniowych. Dla a) i b) równania mają postać $\alpha+3\beta=p$, $2\alpha-\beta=q$, a dla c) i d): $\alpha-3\beta=p$, $2\alpha+\beta=q$.

Równość jest równoważna $2\vec u+3\vec v=m\vec w$.

a) $2\vec u+3\vec v=[-10,12]=2[-5,6]$, więc $m=2$. b) $2\vec u+3\vec v=[-10,31]$. Współrzędne tego wektora nie są w tej samej proporcji co współrzędne $[-3,\frac32]$, więc nie istnieje wspólna wartość $m$.

Rozkładamy obie siły na składowe równoległe i prostopadłe do prostej $l$. Składowe prostopadłe mają wartości $F\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}F$ oraz $\sqrt3F\sin30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}F.$ Są przeciwnie skierowane, więc się znoszą. Składowe wzdłuż $l$ mają ten sam zwrot i sumują się do $F\cos60^\circ+\sqrt3F\cos30^\circ=\frac12F+\frac32F=2F.$