Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 121

rozdział 2. Geometria analityczna · temat „*2.9. Działania na wektorach” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $\vec u+\vec v=[-\frac54,\frac{25}{4}]=-\vec w$ , więc warunek jest spełniony.

b) $\vec u+\vec v=[\frac56,-\frac32]$ , natomiast $-\vec w=[-\frac56,-\frac32]$ . Wektory nie są równe.

Odpowiedź

a) Tak; b) nie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mamy $\overrightarrow{AB}=[2,4]$ i $\overrightarrow{BA}=[-2,-4]$ . Każde równanie zapisujemy współrzędnie, np. w a) $P-B=[2,4]$ , a w d) $P-A=-(P-B)$ .

Odpowiedź

a) $P=(6,9)$ ; b) $P=(0,-3)$ ; c) $P=(4,5)$ ; d) $P=(3,3)$ ; e) $P=(6,9)$ ; f) $P=(-4,-11)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z warunku $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ wynika $D=C+(B-A)$ . Następnie liczymy $|\overrightarrow{AD}|$ .

a) $D=(3,5)$ , $\overrightarrow{AD}=[3,5]$ . b) $D=(3,-3)$ , $\overrightarrow{AD}=[4,-5]$ . c) $D=(5,-3)$ , $\overrightarrow{AD}=[1,-9]$ . d) $D=(-1,8)$ , $\overrightarrow{AD}=[0,11]$ .

Odpowiedź

a) $D=(3,5)$ , $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{34}$ ; b) $D=(3,-3)$ , $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{41}$ ; c) $D=(5,-3)$ , $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{82}$ ; d) $D=(-1,8)$ , $|\overrightarrow{AD}|=11$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy kolejno z zależności $\overrightarrow{AB}=B-A$ , $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ oraz $|3\overrightarrow{AB}|=3|\overrightarrow{AB}|$ . Brakujący punkt wyznaczamy przez dodanie znanego wektora do znanego początku.

Odpowiedź

Uzupełnione wiersze:

$A=(3,4)$ , $B=(1,2)$ , $AB=[-2,-2]$ , $BA=[2,2]$ , $3BA=[6,6]$ , $|AB|=2\sqrt2$ , $|3AB|=6\sqrt2$ ;
$A=(14,12)$ , $B=(6,3)$ , $AB=[-8,-9]$ , $BA=[8,9]$ , $3BA=[24,27]$ , $|AB|=\sqrt{145}$ , $|3AB|=3\sqrt{145}$ ;
$A=(-1,4)$ , $B=(1,1)$ , $AB=[2,-3]$ , $BA=[-2,3]$ , $3BA=[-6,9]$ , $|AB|=\sqrt{13}$ , $|3AB|=3\sqrt{13}$ ;
$A=(1,4)$ , $B=(3,-2)$ , $AB=[2,-6]$ , $BA=[-2,6]$ , $3BA=[-6,18]$ , $|AB|=2\sqrt{10}$ , $|3AB|=6\sqrt{10}$ ;
$A=(3,-1)$ , $B=(2,\frac13)$ , $AB=[-1,\frac43]$ , $BA=[1,-\frac43]$ , $3BA=[3,-4]$ , $|AB|=\frac53$ , $|3AB|=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 9

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $|[a,b]|=\sqrt{a^2+b^2}$ : $|[-3,4]|=5$ , $|[-5,-12]|=13$ i $|[3,3]|=3\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $5$ ; b) $13$ ; c) $3\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 10

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z rysunku odczytujemy $\overrightarrow{AB}=[4,3]$ , $\overrightarrow{CD}=[-3,0]$ , $\overrightarrow{EF}=[3,-3]$ i $\overrightarrow{GH}=[-4,-5]$ .

a) $[4,3]+[3,-3]=[7,0]$ . b) $[4,3]-[-3,0]=[7,3]$ . c) $[-4,-5]+\frac43[3,-3]=[0,-9]$ . d) $[3,-3]-\frac13[-3,0]=[4,-3]$ .

Odpowiedź

a) $7$ ; b) $\sqrt{58}$ ; c) $9$ ; d) $5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem