Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 117

rozdział 2. Geometria analityczna · temat „*2.8. Koło w układzie współrzędnych” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Podstawiamy współrzędne każdego punktu do trzech nierówności. Punkt należy do koła wtedy, gdy lewa strona nie przekracza kwadratu promienia. Otrzymujemy: PaP_a tylko w K1K_1; PbP_b w K1,K2K_1,K_2; PcP_c we wszystkich trzech; PdP_d tylko w K3K_3.

Odpowiedź

a) K1K_1; b) K1,K2K_1,K_2; c) K1,K2,K3K_1,K_2,K_3; d) K3K_3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Sprowadzamy równania do postaci kanonicznej. Znak ≤\le oznacza wnętrze wraz z brzegiem, a ≥\ge — zewnętrze wraz z brzegiem.

Odpowiedź

a) Część koła K((0,0),3)K((0,0),3) leżąca poza kołem K((−1,−1),1)K((-1,-1),1); b) część koła K((0,0),4)K((0,0),4) leżąca poza kołem K((−3,0),5)K((-3,0),5); c) część koła K((3,0),3)K((3,0),3) leżąca poza kołem K((0,4),3)K((0,4),3); d) domknięty pierścień o środku (3,−2)(3,-2) i promieniach 22 oraz 44.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z rysunku odczytujemy środki i promienie okręgów oraz rodzaj każdej linii brzegowej. Linia ciągła daje nierówność nieostrą, a linia przerywana — ostrą. Zacieniowanie rozstrzyga, czy wybieramy wnętrze, czy zewnętrze.

Odpowiedź

a) {x2+y2≤16(x+2)2+y2≥4\begin{cases}x^2+y^2\le16\\(x+2)^2+y^2\ge4\end{cases}; b) {x2+y2>25(x−4)2+y2<9\begin{cases}x^2+y^2>25\\(x-4)^2+y^2<9\end{cases}; c) {(x−2)2+(y+1)2≤16(x+2)2+(y−1)2<16\begin{cases}(x-2)^2+(y+1)^2\le16\\(x+2)^2+(y-1)^2<16\end{cases}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Różnicę A∖BA\setminus B opisujemy, zachowując warunek AA i zaprzeczając warunkowi BB.

a) Dla BB mamy y≤−xy\le-x, więc jego zaprzeczeniem jest y>−xy>-x. b) Zbiór AA ma postać (x+2)2+y2≤16(x+2)^2+y^2\le16, natomiast BB opisuje y<x−2y<x-2.

Odpowiedź

a) A∩B: x2+y2<9, y≤−xA\cap B:\ x^2+y^2<9,\ y\le-x; A∖B: x2+y2<9, y>−xA\setminus B:\ x^2+y^2<9,\ y>-x; B∖A: y≤−x, x2+y2≥9B\setminus A:\ y\le-x,\ x^2+y^2\ge9.

b) A∩B: (x+2)2+y2≤16, y<x−2A\cap B:\ (x+2)^2+y^2\le16,\ y<x-2; A∖B: (x+2)2+y2≤16, y≥x−2A\setminus B:\ (x+2)^2+y^2\le16,\ y\ge x-2; B∖A: y<x−2, (x+2)2+y2>16B\setminus A:\ y<x-2,\ (x+2)^2+y^2>16.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Tak jak w zadaniu 3 odczytujemy z rysunku równania brzegów, rodzaj linii oraz stronę zacieniowania.

Odpowiedź

a) {x2+y2≥4x2+y2≤16y≥x\begin{cases}x^2+y^2\ge4\\x^2+y^2\le16\\y\ge x\end{cases}; b) {x2+y2≤16y≤x2(x+2)2+y2≥1\begin{cases}x^2+y^2\le16\\y\le x^2\\(x+2)^2+y^2\ge1\end{cases}; c) {y≤x+2x2+y2≥1y≥x2−4\begin{cases}y\le x+2\\x^2+y^2\ge1\\y\ge x^2-4\end{cases}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem